Om
Eleaternes udfordring af bevægelsens og forandringens eksistens, med særlig
fokus på
kontinuitetsbegrebet
Af Peter Storm-Henningsen
Indholdsfortegnelse
Indledning................................................................................................................3
Handsken kastes......................................................................................................5
Flux & Logos................................................................................................5
Det første eleatiske argument.......................................................................8
4 af Zenons paradokser...............................................................................10
Et Intermezzo: Aristoteles’ kritik.......................................................................16
Matematikken og kontinuitetens uendelige delelighed.....................................19
Indvendingen om logisk kontradiktion.......................................................19
Om Cantors løsningsmodel.........................................................................20
Beviset for at 0,999...=1..............................................................................22
Kritik af beviset for at 0,999...=1................................................................23
Kontinuitetens enhed............................................................................................26
Bergsons løsningsmodel.............................................................................26
En kritik af Bergson....................................................................................27
Tilbage til Parmenides................................................................................28
Gensyn med Heraklit..................................................................................29
Sammenfatning og konlusion..............................................................................33
Litteratur...............................................................................................................37
Indledning
Historien om hvad det var, der skete i de dage, da Parmenides’ og Heraklits tanker blev kendte, kan fortælles på mange måder. Nogle vil sige, at det man der opdagede, var forskellen imellem dialektikken og den mere ’lineære’ rationalitet. Andre vil fremhæve, at man her finder diskussionen omkring empirisk realisme vs. tanken om det transcendentale for første gang. Andre igen vil måske sige, at man her for første gang begynder at få en mistanke om, at begreber som ’enhed’ og ’pluralitet’ måske er vanskeligere end man umiddelbart skulle tro.
De fleste vil imidlertid være enige om, at diskussionen om bevægelsens eksi-stens står meget centralt i såvel Heraklits som Parmenides’ tænkning. Til daglig anser vi måske ikke bevægelsens eksistens som noget, vi med rette kan tvivle på, men med Parmenides får man den tanke, at denne ’common-sense’ idé muligvis kunne være den eneste evidens, vi overhovedet har for at antage en sådan eksisterende bevægelse.
Målet for denne undersøgelse er for det første at give et indtryk af nogle af de essentielle hovedtræk i diskussionens historiske og virkningshistoriske kontekst. Her vil i særlig grad blive fokuseret på den del af diskussionen, der omhandler bevægel-sens kontinuitetsaspekt. For det andet er det hensigten at forsøge, om man kan sige noget omkring bevægelsens natur ud fra de historiske elementer, der her fremdrages.
Når man foretager en sådan undersøgelse, må man træffe en række valg. Hvad skal med, hvad skal ikke med og i hvilken grad skal det der inddrages, behandles i detaljer. Målet med undersøgelsen er imidlertid ikke at løse bevægelsens problem, men blot at give et overblik over diskussionen.
Jeg har valgt at lægge særlig vægt på Zenons bevægelsesparadokser. For imid-lertid at forstå disse mener jeg at det er bydende nødvendigt, at have et elementært kendskab til den historiske kontekst som Zenon udfolder sine paradokser i. Her tæn-kes i særlig grad på Heraklits og Parmenides’ filosofi. Det var hos disse to det hele begyndte. Eleaterne udfordrede. Og det var Heraklits verdenssyn der blev udfordret.
En særlig status har diskussionen af den kontinuerlige bevægelses eksistens.
Her gives tre hovedpositioner, der kan personificeres ved bestemte filosoffer: Først vil Aristoteles’ indvending imod Zenon blive behandlet, dernæst den Cantor/Grünba-um’ske løsningsmodel for især paradokset om ’Achilleus og Skilpadden’ plus nogle centrale indvendinger imod denne løsning. Til sidst vil Bergsons synspunkt og særligt hans indvending imod Zenon blive behandlet.
Hertil kan man som sagt indvende, at der mangler en behandling af flere centrale figurer i denne diskussion, som eks. Melissos, Platon, Hegel, Whitehead og måske en dybere udredning af Bertrand Russels standpunkter. Til dette vil jeg sige, at de fleste af disse filosoffers synspunkter på dette emne, enten kvalitativt er det samme som et standpunkt der ligner Artstoteles’, Cantor/Grünbaums eller Bergsons, eller og-så tager de et standpunkt imellem disse tre og således indenfor de begrebslige rammer for disses tænkning. Derfor mener jeg også, at det her givne omrids af diskussionen omkring bevægelsens eksistens ud fra kontinuitetsbegrebet i store træk er repræsen-tativt.
Jeg vil slutte denne indledning med to kommentarer af mere praktisk karakter:
1) Hvad angår oversættelse og oprindelse af de fragmenter, der er overleveret fra de førsokratiske filosoffer, er der meget stor uenighed endda. Diels & Krans: Fragmente der Vorsokratiker [DK] anses gerne for et af standardreferenceværkerne til de førsokratiske filosoffer, men er inden for de sidste 50 år blevet voldsomt kritiseret. I opposition til denne udkom så i 1957 Kirk, Raven & Scofield: The Presocratic Philosophers [KRS], der nu også gerne anses for et standardreferenceværk på linie med Diels og Krans. Selv om jeg har en holdning til dette stridsmål, skal jeg undlade at kommentere dette her. Jeg har her hovedsageligt citeret fra Jørgen Mejers oversættelse af fragmenterne, og herefter forsynet citaterne med en henvisning til de to standardværker. En sådan henvisning ser eksempelvis sådan ud: ”[DK B 2; KRS 195]”. Hos Diels og Krans skal man slå op under den pågældende filosof (her Heraklit) og så finde fragment B 2. Hos Kirk, Raven & Scofield er fragmenterne fort-løbende nummereret.
2) Betegnelser som ’Flux’, ’det fluktuerende’, ’fluktuation’, ’bevægelse’ og ’forandring’ anvendes her synonymt og nogle gange i flæng. Alle disse termer står for den samlende betegnelse for enhver form for bevægelse eller forandring. Visse steder er både ordet ’bevægelse’ og ordet ’forandring’ anvendt sammen. Dette er gjort, blot som en påmindelse om, at jeg her underforstår bevægelse og forandring af enhver slags.
Jeg skylder en stor tak til lektor, mag.art Jørgen Hass, for gode og berigende kommentarer under udarbejdelsen.
Handsken kastes
Flux og Logos
Det var allerede i den tidlige græske filosofi et almindeligt accepteret faktum, at verden var i stadig forandring og bevægelse. Således finder man allerede i den ioni-ske naturfilosofi, hos eksempelvis Thales, Anaximander og Anaximenes, forskellige forsøg på at begrunde en teori om et universelt og uforanderligt grundstof eller princip – en enhedstanke, der kunne tjene som fast holdepunkt i en sådan foranderlig verden.[1]
Lidt populært kan man sige, at disse tre filosoffer mente, at verden er kende-tegnet ved et fundamentalt princip og substans i al sin foranderlighed: Thales mente at dette var vand, Anaximander mente, at det var det ”ubegrænsede urstof”, mens Anaxi-menes mente at det var luft.
En af de mest markante repræsentanter for tesen om, at alle ting er i stadig for-andring og bevægelse, finder vi i filosoffen Heraklit[2]. I forhold til de tidligere Ion-iske filosoffer tages den bevægelse og forandring, der finder sted af og i vores om-verden, nu ikke bare for givet, men behandles eksplicit filosofisk. Desværre er der overleveret for lidt af Heraklits værk, til at vi i dag med sikkerhed kan fastslå, hvad Heraklits tese og indsigt har været, men de fragmenter der er overleveret, giver os dog en mulighed for at kunne rekonstruere dele af hans synspunkt i nogen grad, dog be-hæftet med en vis usikkerhed.
Også Hos Heraklit finder vi et forsøg på den enhedstænkning, der er så typisk for de fleste førsokratiske filosoffer. Ifølge Heraklit sker (eller er) alt i overensstem-melse med ’Logos’, der således udgør det fundamentale princip for verdensaltet:
-
Skønt denne LOGOS virkelig eksisterer, forstår mennesker den aldrig, hverken
før eller efter de har hørt om den; for selv om alt foregår i overensstemmelse
med LOGOS, ligner de uprøvede personer, selv når de efterprøver sådanne ord og
handlinger som jeg beskriver, idet jeg inddeler hver enkelt ting i
overensstemmelse med dens natur og
forklarer, hvordan den er. Andre mennesker derimod lægger ikke mærke
til, hvad de gør, når de er vågne,
ligesom de glemmer, hvad de gør i søvne. [DK B 1; KRS 194][3]
Der har hersket en del diskussioner blandt filologer og filosoffer omkring hvad der egentlig skal forståes ved Heraklits brug af ordet ”Logos”. For det første har ordet en almen anvendelse, der foreslår så forskellige betydninger af ordet, at det kan være svært at finde en fællesnævner. W.KC. Guthrie nævner i den anledning:
-... word and thought go together, and notions which the Greeks conveyed by one and the same word were more closely linked in their minds than in those of people who lack a word of the same coverage. In reading Greek it is difficult, and sometimes wrong, to draw a hard and fast line between them. Nor is it always easy to know exactly what was intended by the writer. [4]
-Derfor
skal man følge det fælles (XYNON); men skønt LOGOS er fælles for alle, lever de
fleste, som om de havde en individuel
forståelse. [DK B 2; KRS 195] [5]
’Logos’ er et alment kendetegn ved vores omverden og derfor ikke noget, der blot er knyttet til det menneskelige individ. Man kan sige at ’Logos’ udtrykker et eller flere generelle kendetegn i verden, incl. mennesket, og netop derfor fungerer som et generelt princip for det værende[6]. Skal man beskrive, hvad Heraklits ’Logos’ for om-verdenen nærmere indeholder, kan man følge bl.a. Guthrie og sige, at ’Logos’ i denne anvendelse er tæt knyttet til tre ’indsigter’ eller ’verdenskendetegn’, om man vil:
1)Verdensaltet består af modsætninger, der til
stadighed er i såvel strid som harmoni.
2) Alt er i kontinuerlig forandring og 3) Verdensaltet er en evig brændende
ild.
Det er meget usikkert, hvad der egentlig menes med [3], men personligt hælder jeg til den opfattelse, at Heraklit nok har ment noget i retning af, at ilden er forandringens og stridens materielle/substantielle korrelat eller symbol. Således har det her været et forsøg fra Heraklits side på at formulere sin filosofi i termer, der min-der om de tidligere ioniske filosoffer, ved at hævde noget i retning af ”alt er ild”. Den-ne tolkning kan dog diskuteres.
Imidlertid kræver de to første teser lidt flere kommentarer med på vejen:
Ad. 1) At verdensaltet skulle være i både strid og harmoni med sig selv samtidigt, virker umiddelbart kontraintuitivt og kunne anspore til en kritik, der går i retning af, at harmoni og strid er modsætninger, og at tesen dermed indeholder en kontradiktion. Imidlertid er det spørgsmålet, om Heraklit har opfattet de to elementer, på den måde, at de skulle udelukke hinandens eksistens.[7] Som Guthrie gør opmærk-som på, skal mange af Heraklits fragmenter sandsynligvis tolkes anderledes:
- Once again a statement is seen to be (a) only an apparent paradox, and (b) to our minds only a very loose and equivocal use of language. One of Heraclitus’s ancient nicknames was ’The Riddler’, and some of his statements do indeed bear a resem-blance to children’s riddles and are solved in the same way. (’What is it that is both straight and crooked at the same time? A line of writing’) [8]
Modsætninger vil ifølge Heraklit altid strides, og en sådan strid kan periodisk resultere i ’harmonia’, men ligesåvel i ubalance og disharmoni. Denne strid vil så igen medføre ophøret af denne tilstand.
-Rest, cessation of effort, would mean the opposite of kosmos, for it would result in the falling apart of the opposites, whose union in an ’adjustment of opposite tensions’ – lock-ed, as it were, in an internecine struggle – is what keeps in being the world as we know it. [9]
Ad. 2) Når verden således skulle være i en stadig og kontinuerlig flux, så vil der her oplagt menes, at eksempelvis en given entitet altid vil bevæge sig henimod noget den ikke er, dvs. dens modsætning. Om disse modsætninger har karakter af konkret eksisterende genstande/fænomener eller om der i højere grad er tale om abstrakte genstande, der måske blot skal tjene som en slags grænseværdier, er mere end vanskeligt at sige ud fra de overleverede fragmenter.
Imidlertid lader Platon Sokrates sammenfatte dette aspekt af Heraklits filosofi i en berømt passage fra dialogen Kratylos:
-Heraklit siger jo: ”Alle Ting er i Bevægelse, og
intet har Bestand”. Og han sam-menligner Tilværelsens Fænomener med en Flods
Strøm, idet han siger: ”Man kan ikke to
Gange stige ned i den samme Flod”. [DK A 6; KRS 215] [10]
Det første eleatiske argument
I den ande ende af det græske rige, det nuværende italien, lå en lille havneby kaldet Elea. Denne by kom til at stå for en filosofisk skole, der ikke kun geografisk, men også tanke- og indholdsmæssigt stod i skarp opposition til de ioniske naturfilo-soffer, nemlig eleaterne. Af eleaterne er de to mest markante og indflydelsesrige tæn-kere uden tvivl Parmenides og Zenon. Begge er vanskelige at datere, men det er al-mindeligt accepteret, at Parmenides har været nogenlunde samtidig med Heraklit og at Zenon har været lidt yngre.[11]
Eleaternes filosofi sendte rystelser igennem filosofiens Grækenland ved at hævde, at bl.a. bevægelse ikke kan eksistere; rystelser, der endnu giver genklang i moderne filosofi bl.a. hos Bertrand Russel og Henri Bergson. Nogle af disse gen-klange vil blive behandlet senere her.[12]
Selvom Parmenides og Heraklit muligvis ikke har kendt til hinandens eksi-stens eller filosofi, stilles de ofte op over for hinanden som diametrale modsætninger, der næsten har karakter af en slags konstrueret disput imellem de to.
Heraklit og Parmenides er enige om, at hvis flux skal finde sted, så må det, der er i bevægelse, netop bevæge sig fra at være noget (som det så nu ikke længere er) til at være noget andet (som det så er netop nu). Men hvor Heraklit mener, at en sådan bevægelse er den Logos (form) der opretholder verdens eksistens, mener Parmenides, at man med Logos (forstanden) kan udelukke, at bevægelse i virkeligheden overho-vedet eksisterer:
- ... det værende er ikke opstået, og det er uforgængeligt, det er helt, enestående, urokkeligt og fuldendt. ... hvilken oprindelse vil du søge for det? ’...’ Jeg tillader dig ikke at sige og tænke ”fra det ikke-værende”; for man kan ikke sige og tænke at det ikke er. ’...’ Således må det nødvendigvis enten være fuldt og helt eller slet ikke være. Heller ikke vil overbevisningens styrke tillade at der fra det ikke-værende opstår noget ud over det selv; derfor slækker DIKE ikke sine lænker og tillader det hverken at opstå eller forgå, men holder det fast. Afgørelsen af denne sag ligger her: det er eller det er ikke! Men det er afgjort, som nødvendigt er, at man må opgive den ene vej som utænkelig og unævnelig (for det er ingen sand vej) og anse den anden for at være og for at være sandt. Hvordan kan det værende være på et senere tidspunkt? Hvordan kan det være opstået? For hvis det opstod, er det ikke og heller ikke, hvis det først engang vil være. Således er opståen udslukt og tilintetgørelse ufattelig. [DK B 8; KRS 295-296][13]
- Det er nødvendigt, at det, man siger og erkender, er; for det må være, mens ’intet’ ikke er. ’...’ For dette skal aldrig blive bevist: at ’ting, der ikke er’, er; nej – hold du din tanke fra denne vej, og lad ikke skik og brug, som bygger på erfaring, tvinge dig ind på denne vej: at anvende dit blinde øje, dit ekko fyldte øre og din tunge, men bedøm med forstanden (Logos) den omstridte gendrivelse jeg her har fremsat. [DK B 6-7; KRS 293-294][14]
Ifølge Parmenides kan bevægelse altså ikke eksistere, for skal eksempelvis en given genstand kunne være i en hvilkensomhelst form for forandring eller bevægelse, så ville dette kræve, at genstanden må have et ’rum’, der muliggør forandringen, altså noget genstanden ikke er. Men det ikke-værende findes ikke; gjorde det det, ville det jo netop være noget og dermed ikke ikke-væren. Således er bevægelse og forandring umulig. Altså kan Parmenides’ pointe sammenfattes således:
Det værende er, og det ikke-værende er ikke. Derfor kan intet blive hvad det ikke allerede er, da det, som det ikke er, ikke kan komme til at eksistere.[15]
Det virker som en noget besynderlig tese konstitueret af en form for ekstrem
tiltro til den forstandsorienterede eller rationalistiske tese om Logos. Besynderlig, specielt fordi den står i modsætning til vores dagligdagserfaring, hvor det forekommer os, at både vi selv og verdenen omkring os er i forandring. En umiddelbar og nærlig-gende kritik at Parmenides’ tese og argumentation ville være, at han selv hovedsage-ligt bygger sin teori og kritik på en tese, der i ikke ringe grad bygger på en intuition. Men for det første er selve Parmenides’ argumentation i forhold til Heraklit forholds-vis stramt opbygget[16], og for det andet så kommer en anden filosof fra Elea, Zenon, med nogle yderligere argumenter, der kan understøtte Parmenides’ tese om bevægel-sens umulighed, og disse argumenter (eller paradokser) er noget mere konkrete i deres udformning.
Det eneste som Parmenides’ argumentation nemlig tillader ham at konkludere er, at det værende som helhed ikke kan være kendetegnet ved flux. Som vi har set, ville Heraklit slet ikke stille spørgsmålet op på den måde som Parmenides gør, ved at sige at bevægelse er et spørgsmål om væren og intet. Heraklit ville nok nærmere mene, at bevægelse er et spørgsmål om at være noget og senere være noget andet.. Taler man om det værende som helhed eller enhed, ja så vil ’noget andet’ natuligvis kun kunne betyde noget ikke-værende. Men taler man om eksempelvis en umoden banan, kan ’noget andet’ sagtens betyde en moden banan. Bananen kan altså forandre sig uden at ’gå ud’ af eksistens.
4 af Zenons paradokser
Ifølge overleveringen opregner Zenon en række argumenter, hvor 4 af disse udtrykker en kritik af bevægelsen eksistens. Også ifølge Zenon, kan det værende ikke være i bevægelse. Disse fire paradokser vil jeg kort beskrive i det følgende. Paradok-serne går under forskellige navne, men her vil jeg anvende de betegnelser, der er de mest gængse: ’Dichotomien’, ’Achilleus & Skildpadden’ , ’Pilen’ og ’Stadionpara-dokset’. Alle 4 paradokser er i større eller mindre grad rekonstrueret efter Aristoteles’ opregning og kritik af dem i Fysikken.[17]
Dichotomien: Hvis en given genstand skal bevæge sig lad os sige fra et givet
A°
A>-----------------------------------------÷------------------------------------------> B
punkt A til et givent punkt B, så vil genstanden først skulle tilbagelægge halvvejen imellem A og B, dvs. afstanden imellem A og A°. Men for at tilbagelægge afstanden imellem A og A° må genstanden først tilbagelægge halvdelen af denne afstand, dvs. 1/4 af afstanden AB. Men for at tilbagelægge 1/4 AB må genstanden først tilbagelægge 1/8 AB og så fremdeles. Denne opdeling kan fortsættes i det uendelige.
Derfor kan genstanden aldrig begynde sin bevægelse fra A til B, da den altid må skulle begynde med at tilbagelægge et uendeligt antal afstande i en finit tid, hvil-ket er umuligt.
I dette argument er der tale om en absolut (non-relationel) og kontinuerlig bevægelse, og det viser os, at hvis bevægelse skulle have sådanne karakteristika, så er
den selvmodsigende.
Achilleus og Skildpadden: Dette paradoks vedrører forholdet imellem entitet-er i bevægelse. Aristoteles gengiver paradokset som følger:
-The second is the so-called ’Achilles’, and it amounts to this, that in a race the quickest runner can never undertake the slowest, since the pursuer must first reach the point whence the pursued started, so that the slower must allways hold a lead.
[DK A 25; KRS 322] [18]
Vi sætter den gudelignende græske helt Achilleus til at løbe om kap med en skildpadde, lad os sige 100 m. Da Achilleus efter al sandsynlighed løber noget stær-kere end skildpadden, giver vi skildpadden et forspring på 50 m. Alligevel skulle det ikke være noget problem for Achilleus at løbe de 100 m og nå i mål før skildpadden.
Løbet sætter igang. Først skal Acilleus løbe op til det punkt, hvorfra skildpad-den starter. Imens han gør dette, bevæger skildpadden sig et lille stykke. Dette stykke skal Achilleus så igen løbe op og imens han gør dette, bevæger skildpadden sig så
Skildpadden >>>>---------------->
ý
-----------------------------------------------|----------------------------------------->100m
Start >>>>------------------> 50 m
Achilleus
igen og således ad infinitum: Achilleus kommer tættere og tættere på skildpadden, men han vil aldrig kunne komme op på siden af den, endsige overhale den.
Det er åbenlyst, at Zenon her forudsætter bevægelsens kontinuitet, og således minder paradokset i sin struktur meget om Dichotomien, men her er der tale om re-lationelt konstitueret bevægelse, hvor der i Dichotomien blev forudsat en form for absolut egenbevægelse.
Styrken ved paradokset er, at det har en voldsom intuitiv kraft på to områder:
På den ene side kan vi forestille os kapløbet og er på intet tidspunkt i tvivl om, at Achilleus ville vinde løbet, såfremt dette blev aktualiseret. På den anden side er det også svært at afvise den intuitive kraft, der ligger i argumentet. Således er dette nok det mest paradoksale af Zenons argumenter (muligvis sammen med stadionparadok-set), og pointen er her netop at vise, at man med denne opfattelse af bevægelse kom-mer i modstrid imellem den rationelle (re-)konstruktion af eksemplet og den forvent-ning, man måtte have til udfaldet af kapløbet. Med andre ord, så medfører en relatio-nel og kontinuerlig opfattelse af bevægelse her en kontrafaktisk konklusion, hvilket viser, ifølge Zenon, at en sådan opfattelse ikke er i overensstemmelse med det væren-de
Pilen : En given genstand, det kunne være en pil, som er i bevægelse, må til et givet tidspunkt optage en given plads i rummet. Dvs. at den bane den beskriver i sin bevægelse bestå af instanser. I hvert dette tidspunkt må pilen være i ro, da det optager netop den bestemte del af rummet, der svarer til sin egen størrelse. Derfor kan den aldrig have egenskaben ’væren-i-bevægelse’ i nogen af disse instanser. [19]
Aristoteles skriver:
-... he says that if everything when it occupies an equal space is at rest, and if that which is in locomotion is always occupying such a space at any moment, the flying arrow is therefore motionless. [DK A 27; KRS 323(b)] [20]
R.M. Sainbury stiller i sin bog Paradoxes argumentationen op på følgende måde:
- Suppose we set out Zeno’s argument like this:
a)
At each instant
the arrow does not move.
b)
A strech of time
is composed of instants.
Conclusion: In any strech of time, the arrow does not move.[21]
Ud fra Sainsburys rekonstruktion er det tydeligt, at dette argument er rettet imod en opfattelse af bevægelse, der går ud på, at bevægelse er diskontinuérlig og absolut. Pointen er hos Zenon, at diskontinuerlig egenbevægelse slet ikke er bevægel-se. En sådan opfattelse er derfor slet og ret nonsens. Dette er interessant, da nogle for-tolkere af den moderne kvantefysik, nok ville hævde noget i stil med det, Zenon her kritiserer.
Stadionparadokset : Zenons fjerde paradoks, oftest kaldet ’Stadion’ eller ’Rækkeparadokset’, er rettet imod en opfattelse af bevægelse som relationel og
diskontinuerlig. Paradokset kan gengives nogenlunde som følger:[22]
Vi har tre rækker af entiteter (på et stadion?), som vi kalder A-, B-, og C-
rækken: A-rækken er i stilstand, B- og C-rækken bevæger sig i modsat retning forbi
hinanden og forbi A-rækken:
fig. 1 fig. 2 fig. 3
A A A A A A A A A A A A
B B B B ----> B B B B ----> B B B B ---->
<---- C C C C <---- C C C C <---- C C C C
Vi forudsætter, at de to rækker i bevægelse, B og C, bevæger sig med samme hastighed, nemlig en enhed (heri ligger diskontinuiteten) af gangen, og at alle enheder (hvadenten de benævnes med et A, B eller C) er lige store. Med andre ord: Når vi her siger, at en række er i bevægelse med en bestemt hastighed, så menes der med ’has-tighed’ det antal rum/tids enheder (på fig. 1-3.: antal bogstaver), som en række passe-rer i en given bevægelse. Vi forudsætter endvidere, at enhver bevægelse altid har én og kun én given hastighed.
Paradokset bliver nu klart: I eksempelvis den bevægelse der finder sted fra figur 1 til figur 2, bevæger række B sig med hastigheden 2A (den har bevæget sig to enheder i forhold til A). Men samtidig har den bevæget sig med 4C (den har bevæget sig 4 enheder i forhold til C). Dvs. at 2A=4C. Problemet er, at vi som forudsætning havde, at alle enheder er lige store, nemlig en (mindste-)enhed, dvs. ’1’. Vi har altså at (2x1)=(4x1), hvilket er ækvivalent med sætningen 2=4. Denne sætning er i bedste fald falsk, i værste fald meningsløs: En entitet ville altså skulle kunne bevæge sig med to forskellige hastigheder på én gang, hvilket må siges at være umiddelbart kontraintui-tivt.
James F. O’Brien sammenfatter denne kritik af Achilleus således:
- Aristotle suggests that because there is an infinite number of instants and points at which Achilles has not caught up does not prove there is not a point at which he has caught up. [25]
Man kan måske
sige, at der i henholdvis Dichotomien og Achilleus og
Skildpadden er tale om en kritik af en kontinuérlig bevægelse, og at pointen hos både Aristoteles og Zenon er, at et kontinuum altid kan opdeles uendeligt. Hos Zenon bliver et givet bevægelseskontinuum imidlertid sat i stå ved, at dette opdeles uendeligt og sammenlignes med et andet ikke opdelt kontinuum. I Dichotomien sættes bevægel-sen i stå (den kommer aldrig i gang) og i Achilleus sættes tiden gradvist i stå. Aristo-teles’ afvisning er således, at begge de kontinua der sammenlignes (ex. tid og bevæ-gelse), skal deles efter samme mønster.
Om Pilen siger Aristoteles i første omgang blot, at tiden ikke er konstrueret af adskilte tidspunkter:
- ... the flying arrow is at rest, which result follows from the assumption that time is composed of moments: If the assumption is not granted, the conclusion will not follow. [26]
Det, der måske kan forekomme lidt pudsigt ved denne afvisning er, at Zenon sandsynligvis ville være fuldstændig enig med Aristoteles i at en sådan opfattelse af en diskontinuerlig egenbevægelse bygger på falske præmisser og er uacceptabel. Zenon ville så bare (til forskel fra Aristoteles) mene, at dette tillige gælder for alle andre former for opfattelser af bevægelse.
Med andre ord så mener jeg, at Aristoteles implicit giver Zenon ret i, at en diskontinuerlig egenbevægelse ikke er det, vi refererer til, når vi normalt anvender termen ”bevægelse”.
Kritikken af Stadionparadokset retter sig også imod, hvad Aristoteles anser for en falsk antagelse:
- The fallacy of the reasoning lies in the assumption that a body occupies an equal time in passing with equal velocity a body that is in motion and a body of equal size that is at rest; which is false. [27]
Igen er det spørgsmålet, hvor uenige Zenon og Aristoteles egentlig er: Dette paradoks er sandsynligvis rettet imod en opfattelse af bevægelse, der går på, at en genstands (eller rækkes) bevægelseshastighed netop er et udtryk for en ændring i relationerne til andre genstande (eller rækker). Er dette tilfældet kan man konstruere sådanne rum/tids enheder og Zenons stadionparadoks vil så fungere som en alvorlig kritik af en sådan opfattelse. Aristoteles er imidlertid også selv imod en sådan opfat-telse, og således kritiserer han egentlig ikke selve paradokset, men derimod den opfat-telse som paradokset skulle forsøge at ramme. Igen er det spørgsmålet, hvorvidt Zenon og Aristoteles er uenige på dette punkt.
Senere i Fysikken nævner Aristoteles imidlertid, at disse løsninger (specielt af de to paradokser der angår opfattelser af bevægelse og tid som kontinuerlige fænome-ner) er utilstrækkelige til at afvise problemstillingen som sådan og retter dermed en anden kritik af Zenons uendelige opdeling af kontinua i sine paradokser. Denne nye kritik skulle vise sig at få en meget stor indflydelse på senere filosoffers overvejelser omkring bevægelse og kontinuitet. Cherniss formulerer denne indvending som følger:
- The True solution, he says, is that a line contains an infinite number of points as a given time contains an infinite number of instants only potentially, that if a continuum is divided by the actualization of any of these points it ceases to be a continuum, and that a continuous motion traverses an infinite number of points or instants only accidentally, for it is only accidentally that a line contains an infinite number of sections, its essence being continuity. [28]
Indvendingen om Logisk kontradiktion
Mange filosoffer, logikere og matematikere har i dette århundrede diskuteret en eventuel løsning af Zenons paradokser. Diskussionerne er mange og lange, men desværre ikke altid lige skarpe og efter min mening ofte unødigt komplicerede.
Imidlertid findes der i denne jungle af artikler og diskussioner også afgørende nye tiltag og perspektiver, som det i allerhøjeste grad er værd at beskæftige sig med.
Centralt i de fleste moderne diskussioner om Zenons argumenter imod bevæg-elsens eksistens står tesen om at en diskontinuerlig opfattelse af, hvad bevægelse er, er uholdbar.[30] Derfor kan man sige at ’Dichotomien’ og ’Achilleus og Skildpadden’ er de paradokser, hovedvægten oftest lægges på.
En af de første indvendinger man støder på i moderne filosofi, er en indven-ding, der lyder noget i retning af, at Zenon jo selv forudsætter bevægelsen for at kunne afvise den. Således ender han i en selvmodsigelse og kan afvises på dette grundlag. I Andrew Ushenko’s anbefalelsesværdige artikel ”Zeno’s Paradoxes” er indvendingen formuleret som følger:
-Zeno’s statement of the conditions of the race, for example, of the condition that A moves faster than T, is equivalent to the assumption that motion exists, and therefore contradicts his own conclusion that motion is an illusion. Hence Zeno is inconsistent with himself [31]
Men som vi allerede har set, forudsætter Zenon ikke bevægelsens eksistens. Naturligvis forudsætter han begrebet bevægelse, men han siger samtidig, at dette begreb er selvmodsigende og derfor meningsløst. Derfor eksisterer bevægelse ikke i virkeligheden, fordi begrebet (der faktisk eksisterer) ved en nærmere undersøgelse viser sig at rumme kontradiktoriske træk. Dette er ikke et problem for Zenon: Det er
netop hans pointe.
Om Cantors løsningsmodel
Ofte hører man filosoffer hævde, at man med den moderne infinitesimalreg-ning har løst Zenons paradokser. Et tydeligt eksempel finder man hos Karsten Friis Johansen:
-Ud fra Moderne matematiske synspunkter kan Aristoteles’ kritik udbygges videre takket være infinitesimalregning og mængdelære. Zenons og hans samtids axiomer kan gendrives i den forstand, at det fx. kan påvises, at summen af den uendelige kvotientrække 1/2+1/4+1/8+1/16...+1/n konvergerer mod grænsen 1, og det kan matematisk beregnes hvornår Archilleus indhenter skildpadden. Tidens uendelighedsbegreb er for primitivt (cf. Aristoteles), og der gælder ikke den samme logik for naturlige tal og reale tal. Den naturlige talrække er en diskontinuert række, hvor hvert tal har en umiddelbar forgænger og en umiddelbar efterfølger, men et talkontinuum kan ikke gøres til genstand for en tælleprocedure.[32]
Her må det imidlertid være presserende at undersøge, hvorvidt infinitesimal-regningen faktisk har opstillet mulighedsbetingelsen for, at Acilleus kan nå op på siden af skildpadden (og dermed løst paradokset).
Det paradoksale i Zenons ’Achilleus’ og ’Dichotomien’ opstår tilsyneladende i kraft af, at et givent kontinuum altid vil være uendeligt deleligt qua kontinuum. Dette gør, at man ikke kan tælle sig igennem et kontinuum, fordi man i så fald skulle have uendeligheden til at gøre det i (hvilket også Aristoteles pointerede). Som Friis Johansen gør opmærksom på, så vil summen af en uendelig talrække, hvorom det gælder, at det næste tal i rækken altid er halvt så stort som det foregående, konvergere
imod et givet naturligt tal. Eksempelvis vil den talrække Friis Johansen nævner i citatet konvergere imod 1. Derfor kalder man dette tal for talrækkens grænseværdi.
Grænseværdien er altså det tal som en talrække stræber imod, men aldrig når.
En af de matematikere, der har haft den største betydning for de moderne
overvejelser angående Zenons paradokser, er Georg Cantor, og givetvis er det netop Cantor, som Friis Johansen har haft i tankerne i ovenstående citat. En gennemgang af Cantors teorier vil føre alt for vidt i denne opgave, men et par relevante hovedtræk skal nævnes. Et af de mest berømte forsøg på at løse Zenons paradokser ved hjælp af
Cantors matematik findes hos filosoffen Adolf Grünbaum[33], og det vil være i hans
forståelse af Cantor, at jeg vil tage mit udgangspunkt.
Ifølge Zenon, vil Achilleus komme uendelig tæt på skildpadden, men aldig nå op på siden af denne. Lad os for et øjeblik koncentrere os om den stadigt formind-skede afstand imellem Achilleus og Skildpadden. Denne afstand vil til sidst blive uendelig lille, altså 0,000...001 hvor der er uendelig mange nuller imellem kommaet og cifferet et. Lad således skildpaddens givne position til et givent tidspunkt være det naurlige tal ’1’. Zenons påstand vil så være, at Achilleus kun kan nå positionen ’0,9999....’, en uendelig decimalbrøk, der konvergerer imod ’1’. Den Cantorske løs-ningsmodel kan nu rekonstrueres nogenlunde som følger:
Grünbaum hævder med Cantor, at et kontinuum må bestå distinkte enheder (en linie af punkter uden udstrækning o.a.):
-We could go one step further and ask how many distinct subintervals or events there are in the continuum, if we allow overlapping ones. The answer is that there is a continuum of distinct subintervals.[34]
Hvis en linie kan deles, må det være fordi den (allerede) består af de dele, den kan deles op i. Hvis en linie (repræsenterende et givet kontinuum) således kan deles op uendeligt, må det være fordi den må bestå af et uendeligt antal små punkter (inter-valler) uden udstrækning. Grünbaum accepterer altså den uendelige delelighed, der fører ham selv og Cantor lige lukt i armene på Zenon.
Af pladshensyn vil jeg vil undgå at komme nærmere ind på Cantors teorier om denumerable og superdenumerable mængder. Blot skal det her nævnes, at hos Cantor arbejdes der, lidt populært sagt, med ’større’ og ’mindre’ uendeligheder. To uendelige mængder er for Cantor lige store, såfremt hvert enkelt element i den ene mængde er aritmetisk kommensurabelt med hvert enkelt element i den anden mængde. Man kan også sige at de to mængder er isomorfe. Sådanne to mængder kan tælles sideløbende, og vil derfor altid på et givet tidspunkt i tællefasen være lige store, dvs. have lige
mange optalte elementer.[35]
Ifølge Cantor og Grünbaum vil en uendelig decimalbrøk, der konvergerer imod et tal (grænseværdien for denne), have samme egenskaber som tallet (grænse-værdien) selv og derfor være det selv samme tal.
-... we can say in a purely topological sense that the terminal event is the limiting event of the set of events. By the latter we mean that this is one for which every interval of the set, however small, containing the limiting event, encloses an event of the set, distinct from the limiting event itself. If now we define a metric for this set of events by assigning numbers to each event in suitable fashion, then it is clear that the coordinates of the terminal events of the successive subintervals traversed by the runner. Therefore the arithmetic theory of limits can significantly be used to express the fact that the runner reaches his destination.[36]
Med andre ord kan man sige, at tesen er, at ethvert tal også kan skrives som en uendelig decimalbrøk, nemlig den decimalbrøk, der konvergerer imod netop det ak-tuelle tal. Eksempelvis kan tallet ’5’ også skrives som ’4,9999...’ og tallet ’1’ som ’0,9999...’. Den eneste forskel, ifølge Cantor’ske opfattelse, er notationen.Man afviser altså begrebet om den uendeligt lille størrelse (0,00...1), der netop af Zenon, anses for den evige differens imellem Achilleus og skildpadden.
Når Achilleus således kommer uendelig tæt på skilpadden, vil dette sige det samme som at han allerede er oppe på siden af den og nu kan passere. Denne løs-ningsmodel forekommer umiddelbart intuitivt uplausibel. De færreste ville nok gå med til at eksempelvis ’0,999...’ er lig med ’1’. På den anden side er det lige så oplagt, at hvis ’X,9999...’=’X+1’ så ville der faktisk være tale om en løsning af Zenons para-doks. Men som det skal vise sig, er sagen lidt mere kompliceret end som så.
Beviset for at 0,999... = 1
Man kan opstille en generel aritmetisk funktion: (10´X-X)/9=X. Man tager et tal, ganger det med ti, trækker 1´X fra summen og dividerer med 9. Så får man igen ’X’.
Lad os tage et par eksempler: Lad x være 2: 2 gange 10 er 20, 20 minus 2 er 18, 18/9
er 2. Lad så x være den uendelige decimalbrøk der konvergerer imod tallet 1/3,
nemlig 0,333...: 0,333... gange med 10 er 3,333..., 3.333...minus 0,333... er 3, 3/9
er 0.333...(eller 1/3, da 3/9 kan reduceres til 1/3)
Således har vi nu checket, at denne funktion kan anvendes på såvel naturlige tal som på en uendelig decimalbrøk. Lad os da prøve med en uendelig decimalbrøk, der konvergerer imod et naturligt tal, eksempelvis 0,999...: 0,999... gange med 10 er 9,999..., 9,999... minus 0,999... er 9, 9/9 er l. Med andre ord, hvis vi har at (10´X-X)/9=X så gælder det, at (X=0,999...)=(X=1), hvilket igen kan reduceres til udtrykket 0,999...=1. Således har vi her tilsyneladende et bevis for at en uendelig decimalbrøk, der konvergerer imod et naturligt tal er identisk med sin grænseværdi.
Kritik af beviset for 0,999... = 1
Således er det tydeligt, at man ikke bare kan afvise den Cantor/Grünbaumske løsningsmodel med, at de blot forveksler en konvergerende brøk med dens grænse-værdi.
Bl.a. Jakob Bovin fra Odense Universitet kritiserer beviset ved at sige, at der
er forskel på at sige, at en uendelig decimalbrøk har uendeligt mange decimaler og at den har vilkårligt mange decimaler.
-At man kan lave beviset for at 0,9999... er lig med 1, skyldes at den uendelige ræk-ke af 9-taller man her opererer med, formodes hverken at blive kortere eller længere af at blive multipliceret med 10. Det gør derimod en vilkårligt stor men finit række. [37]
-At 9,999.... minus 0,9999.... skulle give 9 forudsætter at man tolker notationsformen x,xxxx.... som betydende at der er ’lige mange’ decimaler i tallene 9,999... som i 0,9999.... [38]
Her skal man imidlertid være opmærksom på at det netop er i denne forbind-else at Cantor kan fremhæves. Ifølge Cantor og Grünbaum er mængden 9,999... og mængden ’0,999...’ isomorfe eller aritmetisk kommensurable. Derfor er de to mæng-der qua uendelige mængder for Cantor lige mægtige, hvilket faktisk muliggør denne bevisførelse.
Derfor er det imidlertid, at det springende punkt i denne diskussion er spørgs-målet om, hvad ”matematisk uendelighed” egentlig er for en størrelse.
Max Black kritiserer netop udgangspunktet, nemlig accepten af at Achilleus
overhovedet skulle kunne udføre en uendelig mængde af bevægelser.
- The logical difficulty is that Achilles seems called
upon to perform an infinite series of tasks ...Achilles may get nearer to the
place and time of his rendezvous, but his task remains just as hard, for he
still have to perform what seems to be logically impossible. It is just as hard
to draw a very small square circle as it is to draw an enormous one: we might
say that both tasks are infinitely hard.[39]
Black kritiserer hele dette at tilskrive ’størrelser’ til uendeligheder som me-ningsløst:
-Now suppose we can know that the collection is infinite. If, knowing this, we were to say ”Start counting and continue untill there is nothing left to count” we should be prac-ticing a deception. For our census-taker would be led to suppose that sooner or later there would be nothing left to count, while all the time we would know supposition to be false. (...) To avoid deception we should have said, in the case of the infinite collection, ”Start counting and never stop”. This would be enough to tell an intelligent census-maker that the collection is infinite, so there is no sense in trying to count it. [40]
Kontinuitetens enhed
Bergsons løsningsmodel
-Hvorfor kommer Akilles foran Skildpadden?[45]
Den franske filosof Henri Bergson stiller, ligesom mange andre der er nævnt i denne afhandling, dette spørgsmål, men hans svar er ikke som de andres. Hvor eksem-pelvis Grünbaum og Cantor accepterer en uendelig deling af et bevægelseskontinuum, vil Henri Bergson ikke acceptere en deling overhovedet. Bergson skriver:
-Fordi hvert af Akilles’ Skridt og hvert af
Skildpaddens Skridt er udelelige Størrelser som bevægelse betragtet og
forskellige Størrelser som Rum betragtet, saaledes at Additionen derfor snart
vil gøre det af Akilles gennemløbne Rum til en Længde, der er større end det af
Skildpadden gennemløbne Rum plus det Forspring, som denne havde. [46]
Hos Bergson har bevægelse og forandring, sammen med bl.a. tid, en slags epistemologisk primat der gør, at en given deling af et kontinuum, som eksempelvis en bevægelse, er noget der foregår i sindet og derfor ikke epistemologisk eller meta-fysisk forpligtende. James O’Brien formulerer det meget klart:
-It seems that Bergson has clearly percieved that the mind is creating the divisions rather than discovering them ... [47]
Når således det er sindet der skaber opdelingen, bliver paradokset slet ikke et paradoks, men en fejlslutning: Man analyserer og opdeler dermed en bevægelse. Men denne opdeling gør analysen inadækvat, netop fordi analysen og ikke bevægelsen for-drer en opdeling. Derfor opstår fejlslutningen. Bergson skriver et andet sted om Achil-leus og skildpadden:
-If you insist on dividing the two motions further,
distinguish both on the one side and on the other, in the course of Achilles
and in that of the tortoise, the sub-multiples of the steps of each of them;
but respect the natural articulations of the two courses. As long as you
respect them no difficulty will arise, because you will follow the indications of experience. [48]