Er uendelighed aktuel eller potentiel? Hvad er argumenterne for at uendelighed er aktuel henholdsvis potentiel? Hvilke nye problemer udløser disse argumenter?

Indledning

Hvad er uendelighed? Findes uendelighed, er der noget uendeligt i verden? Eller er uendelighed bare noget vi bruger som begreb, en slags grænse som egentlig ikke er der. I det overordnede spørgsmål om hvad uendelighed er, ligger også en undersøgelse af tid og rum, men jeg vil i denne opgave begrænse mig til den matematiske uendelighed. Således hører denne opgave ind under matematikkens filosofi. Min filosofiske indgangsvinkel til dette emne er at tage udgangspunkt i de paradokser der opstår ved nærmere betragtning af uendelighed. Man kan så spørge hvilken opfattelse af uendelighed der har betydning for at de forskellige paradokser opstår. Kan de forskellige forklaringer af matematisk uendelighed give en løsning på paradokserne, uden at nye opstår?

Uendelighed optræder i matematikken bl.a. i mængdelære og i geometri. Mængden af naturlige tal er uendelig stor; uanset hvor langt man tæller, er det altid muligt at tælle én til. Der er således ikke noget største naturligt tal – enhver kandidat til et sådant kan med det samme blive større ved at lægge én til. I geometriens studie af rummet kan en linje deles uendeligt mange gange, og ethvert interval kan blive underinddelt i flere underinddelinger. Den tanke at en proces kan fortsættes i det uendelige, introducerer uendelighed som potentiel; uendelighed er aldrig noget der kan nås. I vores standard aritmetik (tallære) opfattes uendelighed på den anden side også som aktuel: Mængden af naturlige tal opfattes som én komplet helhed der indeholder alle de naturlige tal. Tilsvarende er den reale linje mere end et interval, det er én samling af uendeligt mange punkter. Linjen er aktuel, hel og kontinuert. Punkterne er der alle sammen på en gang, og mellem to vilkårlige punkter er der et tredje. Dette leder til paradokser, som f.eks. Zenons paradoks med Akilleus og skildpadden, hvilket er et stort problem for matematikken, da de viser at man ikke kan regne med uendelighed ved hjælp af almindelig tallære. (Read 1995)

I den forbindelse er en filosofisk diskussion opstået om hvorvidt uendelighed er aktuel eller kun potentiel. Det er en diskussion mellem realister og antirealister, og en diskussion om hvorvidt man opdager eller opfinder matematikken. På den ene side står Georg Cantor (1845-1918) med sin matematiske teori om uendelighed som en transfinit størrelse. Han mener at kunne udlede af sin teori, at uendelighed skal anses for at have aktuel eksistens. På den anden side er der intuitionisterne, som i denne opgave repræsenteres af L.E.J.Brouwer (1881-1966) og Arend Heyting (1898-1980). Disse har hentet inspiration fra Kant og mener at matematik er noget mennesket konstruerer. Uendelighed kan kun regnes for potentielt eksisterende, da man aldrig kan komme til at bevise at uendelighed har aktuel eksistens. Michael Dummett (f. 1925) har med sin semantiske antirealisme bidraget til denne del af diskussionen.

Jeg vil kritisk gennemgå Cantors transfinitisme som hævder at uendelighed er aktuel, og intuitionisternes argumenter for at uendelighed er potentiel. Det vil vise sig at der er problemer ved begge opfattelser. Jeg vil desuden komme ind på den mere generelle diskussion af realisme overfor antirealisme inden for matematik; samt diskutere hvorvidt vi overhovedet er i stand til at få viden om uendelighed. Der er flere filosofiske og matematiske retninger som er fortalere for uendelighed som potentiel.[1] Grunden til at jeg har valgt at bruge intuitionismen, er at denne er et eksempel på en lokal antirealisme. Således drejer diskussionen over i en ’realisme versus antirealisme’ debat, hvilket jeg synes er meget relevant i diskussionen af matematisk uendeligheds natur.

Jeg har i min opgave stort set ikke gjort brug af primære tekster; slet ikke i behandlingen af Cantors teori, og kun lidt i forbindelse med intuitionismen (Brouwer og Heyting). Den bog jeg har støttet mig mest til i hele min opgave, er The Infinite af A.W.Moore[2], som både er en historisk og en problemorienteret gennemgang af uendelighed.

Uendelighedens paradokser

Jeg vil i dette afsnit gennemgå nogle af de forskellige paradokser der er udsprunget af overvejelser over uendelighed. Paradokserne kan inddeles i fire kategorier, som jeg i resten af opgaven vil referere til og diskutere nærmere.

Paradokser om det uendeligt delelige (det uendeligt lille). Zenons paradoks med Akilleus og skildpadden: Akilleus løber dobbelt så hurtigt som sin ven skildpadden, og lader derfor denne få et forspring i et kapløb. Før Akilleus kan overhale skildpadden, må han nå til det punkt hvor den startede. Når Akilleus når dette punkt, har skildpadden flyttet sig et stykke vej der svarer til det halve af den distance der skilte dem ad fra starten. Akilleus må nu løbe denne distance også, for at kunne overhale skildpadden. Men da han når dette punkt, er skildpadden nået et stykke yderligere frem, osv. i det uendelige. Det synes nu som om Akilleus aldrig får overhalet skildpadden. På den anden side, givet de hastigheder og afstande der indgår, kan vi beregne præcist hvor lang tid det vil tage Akilleus at indhente skildpadden, helt fra starten af løbet. Dette paradoks kan geometrisk ses som problemet med at en linje, der består af uendeligt mange punkter uden udstrækning, kan deles uendeligt mange gange.

Paradokset med den delte pind: Forestil dig at en uendeligt delelig pind deles midt over på et eller andet givet tidspunkt, og at hver halvdel deles midt over et halvt minut senere, og at hver fjerdedel deles midt over et kvart minut senere igen, osv. i det uendelige. Hvad er der tilbage efter et minut? Uendeligt mange uendeligt tynde skiver? Forstår vi overhovedet dette? Har en uendelig tynd skive overhovedet nogen udstrækning? Hvis det er tilfældet, hvordan kan det så være at uendeligt mange af dem ikke danner en uendelig lang pind? Hvis det ikke er tilfældet, hvordan kan (selv) uendeligt mange af dem danne en pind med en udstrækning overhovedet? Denne slags spørgsmål kan altid stilles i situationer hvor et legeme deles i det uendelige.

Paradokser om uendelig læggen til (det uendeligt store). Paradokset med de lige tal (Galileis paradoks[3]): Vi kan parre alle de naturlige tal (positive, hele tal) med de lige tal, hvilket viser at der er lige så mange lige tal, som der er naturlige tal i alt (se figur 1).

1 2 3 4 5 6 7 8 ….

2 4 6 8 10 12 14 16 ….

Figur 1: Parring af de naturlige tal med de lige tal.

På den ene side synes det umiddelbart indlysende at der er færre lige tal end naturlige tal, da de naturlige tal indeholder både de lige men også de ulige. På den anden side er der noget kontra-intuitivt i at sige at én uendelighed er større end en anden.[4] Det synes som om vi forbliver utilfredse med situationen, uanset hvordan vi beskriver den.

Hilberts hotel har uendeligt mange værelser, som alle er optaget for tiden. En tilkommende gæst kan indskrives uden at nogle af de andre skal flytte ud: Hvis gæsten der overnatter i det første værelse, flytter til det andet, og gæsten i det andet værelse flytter ind i det tredje, osv. i det uendelige, så er det første værelse derved blevet ledigt til den nye gæst. Det er endda sådan at uendeligt mange nye gæster kan indskrives, uden at nogle af de andre behøver at flytte ud: For hvis den overnattende gæst i det første værelse flytter ind i det andet, og gæsten i det andet værelse flytter ind i det fjerde, og gæsten i det tredje værelse flytter ind i det sjette, osv. i det uendelige, så udløser det uendeligt mange ledige værelser, nemlig alle dem med ulige numre. Dette må siges at være ret paradoksalt.

Paradokset med den ene og de mange. Der er noget paradoksalt i talen om uendelige mængder: hvordan er det muligt at have én samling af uendeligt mange ting? Er det ikke sådan at en uendelig totalitet er ’et mange’ som er for stort til at tælle som én? ”Is not an infinite totality a many that is too big to count as a one – a many that is ineluctably such?” som A.W.Moore siger det (Moore 1990, side10). Russells paradoks og Burali-Forti paradokset, som jeg vender tilbage til i kritikken af Cantors transfinitisme, er beslægtet med dette paradoks. (Moore 1990, introduktionen)

Paradoks angående det at tænke over uendelighed. I selv samme akt ved hvilken vi prøver at definere uendelighed som værende dette og hint, har vi allerede begrænset og betinget det uendelige, men er det uendelige ikke netop dét der er ubegrænset og ubetinget? Måske er vi som endelige væsener fuldstændigt afskåret fra at behandle og finde en løsning på problemet om uendeligheds sande natur. Ethvert forsøg på at definere uendelighed, er at forsøge at bringe det inden for vores egen forståelsesramme, men – givet vores egne begrænsninger – kan vi kun bringe dét inden for vores forståelsesramme, som selv er tilpas begrænset.

Et paradoks opstår i forbindelsen mellem vores endelighed, vores selvbevidsthed og vores relation til det uendelige. Vores endelighed er grunden til at vi aldrig kan forstå uendelighed, mens vores selvbevidsthed (som også er endelig) derimod synes at give en mulighed for at vi kan forstå uendelighed. Paradokset opstår ved kombinationen af disse to: At forstå det uendelige synes, absurd nok, at involvere at forståelsen af det uendelige, er noget vi ikke kan forstå. I vores selvbevidste refleksion over vores egen endelighed, får vi en fornemmelse af hvad der ligger hinsides os. På den ene side forhindrer vores endelighed os i at forestille os noget, inklusive hele virkeligheden, som sand uendelig. På den anden side forhindrer vores endelighed os i at kunne forestille os noget endeligt – noget som er inden for det vi kan forstå – som hele virkeligheden. (Moore 1993, afsnit X)

Baggrundshistorien for distinktionen mellem aktuel og potentiel uendelighed

I dette afsnit vil jeg give en yderligere indføring i problemstillingen, ved at give en kort beskrivelse af baggrundshistorien for distinktionen mellem aktuel uendelighed og potentiel uendelighed.

Uendelighed kan opfattes som ubegrænset, enorm, uoverskuelig, umålelig og uden ende, hvilket er brugbare begreber i en logisk eller matematisk diskussion. Vi støder også på uendelighed opfattet som en enhed, fuldstændig, absolut, hel og perfekt, hvilket er en mere metafysisk eller teologisk betragtningsmåde. Hver især er begreberne meget forskellige fra hinanden, hvilket giver udtryk for, at vi til hverdag ikke har nogen præcis fornemmelse af hvad uendelighed er. Uendelighed synes af natur at være paradoksal. De ældste paradokser om uendelighed blev formuleret af Zenon fra Elea i det 5. århundrede f.Kr og angår det som er uendeligt deleligt.[5] (Moore 1993, afsnit I og II)

Aristoteles (384-322 f.Kr.) anså Zenons paradokser for at være en del af et mere generelt problem, et problem som strækker sig ud, til også at indeholde dét at kunne lægge til (addere) i det uendelige. Aristoteles indførte skelnen mellem aktuel og potentiel uendelighed. Aktuel uendeligt er dét hvis uendelighed eksisterer, eller er givet på en eller anden måde, i tid. Aktuel uendelighed har faktisk eksistens. Potentiel uendeligt er dét hvis uendelighed eksisterer, eller er givet, over tid. Potentiel uendelighed har mulig eksistens. Potentiel uendelighed er ifølge Aristoteles et fundamentalt træk ved virkeligheden, som kan erkendes i en hvilken som helst proces der aldrig ender, f.eks. processen at tælle. Mængden af naturlige tal er potentielt uendelig da der ikke er noget største tal, men denne mængde er ikke aktuelt uendelig da mængden ikke findes som en afsluttet ting. Grunden til at paradokser som Zenons opstår, er at vi ikke er tilstrækkeligt opmærksomme på distinktionen mellem potentiel og aktuel uendelighed. Har vi først set at der ikke er nogen ende på den proces at dele en given del af rummet eller en given periode af tiden, forestiller vi os - af en eller anden grund - at alle disse mulige fremtidige delinger rent faktisk, i virkeligheden allerede er der. Aristoteles mente at al tale om aktuel uendelighed bør forkastes. (Moore 1993, afsnit III)

Immanuel Kant (1724-1804) førte Aristoteles’ uvilje mod aktuel uendelighed videre. Aksiomerne for geometri og tallære er ifølge Kant syntetisk a priori domme, dvs. domme der er uafhængige af erfaringen og ikke mulige at demonstrere analytisk. Selvom vi ikke kan have direkte a posteriori (erfaringsafhængig) adgang til det uendelige, er der bestemte formale og strukturelle træk ved uendelighed som er tilgængelige a priori (uafhængigt af (sanse)erfaringen). Tid og rum er ifølge Kant uendelige, ikke kun i betydningen uendeligt udstrakte, men også i den betydning at være uendeligt delelige. Dette er matematiske sandheder som er a priori og uangribelige. Tid og rum er for Kant ikke egenskaber ved tingene selv, de er dele af et a priori netværk som vi lægger ned over tingene. Tid og rum er begrebsformer iboende den menneskelige fornuft. Senere intuitionister blev inspireret af Kant, og mente at uendelighed er konstrueret af den menneskelige fornuft. (Moore 1993, afsnit V)

Matematik som omhandlede problemer med aktuel og potentiel uendelighed, gik næsten helt i stå de næste 2000 år efter Aristoteles. Stort set alle accepterede Aristoteles’ opfattelse af at aktuel uendelighed skal behandles med modvilje, lige indtil Cantor (blandt andre) udviklede mængdeteorien. Det skulle vise sig at være en alvorlig udfordring til Aristoteles-traditionen. (Moore 1990)

Transfinitisme ved Cantor

Georg Cantors (1845-1918) matematiske teori blev fremlagt som en mulig løsning på nogle af uendelighedsparadokserne. I dette afsnit vil jeg fremlægge hovedelementerne i teorien, dvs. dem der har relevans for spørgsmålet om matematisk uendeligheds natur.

Vejen til en løsning på paradokserne om uendelig læggen til og det uendeligt delelige, var for Cantor at behandle uendelighed så meget som muligt som endelighed. Han etablerede transfinit matematik, en teori om uendelighed som aktuelt eksisterende, som også indeholder de basale principper for mængdelære. ’Transfinit’ kan forstås som ’den tæmmede uendelighed’. Ifølge Cantor er alle uendelige mængder store, men nogle er større end andre; der er flere grader af uendelighed. Det er disse nye opfattelser af uendelighed der gør Cantors matematiske teori så interessant. Han etablerede præcise metoder til at måle hvor store uendelige mængder er, og han formulerede måder hvorpå man kan regne med disse mål. De transfinitte tal skal opfattes som uendelige, men stadig tænkelige og aktuelt eksisterende. Det vil vise sig i kritikken af Cantors teori, at lige da paradokserne med uendelig læggen til synes at være løst, bliver paradokserne med den ene og de mange et problem i stedet. (Rucker 1982 kap. 1; Moore 1993 afsnit VI; Read 1995)

Når Cantor taler om mængder skal disse opfattes på følgende måde: ”By a ’set’ we mean any gathering into a whole .. of distinct perceptual or mental objects ..”, “A set is a many which allows itself to be thought of as a one” (c.f. Moore 1990, side 9-10). En mængde er en samling til et hele; ’et mange’ som kan tænkes på som én. Mængden er bestemt af sine elementer. Disse kan beskrives enten ved at remse hvert enkelt element op, eller ved at fremsætte en betingelse som alle elementerne, og kun disse elementer, tilfredsstiller, f.eks. ”alle planeterne i solsystemet” eller ”Merkur, Venus, Jorden, Mars, Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun, Pluto”. (Moore 1990, introduktionen)

Når vi har at gøre med uendelige mængder, passer Euklids sætning om at helheden er større end delen ikke længere, f.eks. er det muligt at parre alle lige tal med alle de naturlige. Dette kommer til udtryk i ’pairing off’ princippet, som er et af grundbegreberne i Cantors teori[6]. Princippet siger følgende: Hvis det er muligt at parre alle elementer i én mængde med alle elementerne i en anden mængde, så må de to mængder indeholde lige mange elementer. Sagt på en anden måde: To uendelige mængder er lige store hvis de kan sættes i én-til-én relation med hinanden (1-1 onto mapping). Cantor godtog pairing off princippet også i dets omvendte version: Ikke to mængder er lige store, med mindre deres elementer kan parres hver og én. Han accepterede dermed at der er præcis lige så mange lige positive hele tal, som der er positive hele tal i alt, for her er helheden ikke større end delen. Cantor definerede uendelige mængder på baggrund af dette: en mængde er uendelig hvis den har præcis lige så mange elementer som én af dens delmængder, hvor delmængden er en ægte delmængde (ikke sammenfaldende med den originale mængde).[7] (Moore 1993, afsnit VI)

Vores normale opfattelse af to mængder af samme størrelse, er når alle deres elementer kan parres. En mængde A er større end en anden mængde B hvis elementerne i B kan parres med nogle af elementerne i A, men ikke med alle sammen. Paradokserne med uendelig læggen til viser i denne betydning, at alle uendelige mængder er af samme størrelse, men Cantor beviste ved hjælp af diagonalargumentet at dette ikke er tilfældet.

Ud fra diagonalargumentet konkluderer Cantor at ethvert forsøg på at parre de reelle tal mellem 0 og 1 (begge eksklusive) med de naturlige, er dømt til at mislykkes. Mindst et af de reelle tal bliver nødvendigvis sprunget over, og parres ikke med et eneste naturligt tal. Ethvert af de reelle tal mellem 0 og 1 kan udtrykkes som et uendeligt decimaltal (f.eks. 1/3 = 0.333). Enhver parring af de naturlige tal med et vilkårligt udvalg af disse reelle tal, kan vises som et ’uendeligt kvadrat’. Antag at vi bevæger os fra det første ciffer i det første decimaltal, til det andet ciffer i det andet decimaltal osv. ned ad kvadratets diagonal, som vist i figur 2.

Figur 2: Diagonalargumentet.

Hvis vi for hver gang vi kommer til et nyt ciffer, skriver et 3-tal hvis cifferet er 4, og et 4-tal hvis cifferet er alt andet end 4, så bliver udfaldet at vi har nedskrevet noget, som selv kan betragtes som

den decimale rækkeudvikling af et reelt tal mellem 0 og 1. I dette tilfælde vil tallet være 0,4334… Dette tal, der er fundet ved hjælp af ’diagonaliseringen’ af parringen af mængden af de naturlige tal og mængden af de reelle tal fra 0-1, kan ikke parres med et naturligt tal. Det er nemlig defineret sådan at det er forskelligt fra det første reelle tal i dets første decimal, fra det andet i dets andet decimal, fra det tredje i dets tredje decimal, osv. i det uendelige. Det kan altså ikke selv være et af de reelle tal i det pågældende kvadrat. Uanset hvilken parring vi lægger ud med, kan mindst ét reelt tal ikke parres med et af de naturlige tal. Det vil altid være muligt at definere et sådant reelt tal ud fra denne slags diagonalisering. Konklusionen bliver at der er flere reelle tal, end der er naturlige tal. Den ene mængde er større end den anden. R (mængden af de reelle tal) er med Cantors ord ’overtællelig’.

Samme teknik bruger Cantor til at vise at der er flere mængder af naturlige tal, end der er naturlige tal i sig selv. Sagt på en anden måde: N (mængden af naturlige tal) er mindre end sin egen potensmængde. Hvor potensmængde er mængden af delmængder i en given mængde. Dette argument kan generaliseres til at enhver mængde er mindre end sin egen potensmængde. Således er der ingen grænse for hvor stor en uendelig mængde kan være. N er uendelig, dens potensmængde er større, dens potensmængde er endnu større, osv. i det uendelige. (Moore 1990, kap. 8)

Ud fra diagonalargumentet udledte Cantor altså to ting: At mængden af reelle tal er overtællelig, og at enhver mængdes potensmængde altid er større end mængden selv. Disse konklusioner udgør tilsammen ’Cantors teorem’. (Blackburn 1994)

Et andet hovedelement i Cantors transfinitisme er hans teori om ordenstal eller ordinaltal. Det ordinale aspekt af tal refererer til rækkefølgen, f.eks. første, anden, tredje… For at forstå Cantors brug af ordenstal i forbindelse med uendelighed, må vi først vide hvad velordnede mængder er. En velordning af en mængde X (endelig eller uendelig) er en ordning i en bestemt successiv rækkefølge af X’s elementer, udfra følgende betingelser: Der udvælges et element af X som det første (medmindre X er tom), der udvælges et andet element af X som det andet (medmindre X kun har et element)...osv. Der udvælges for hvert element af X, som ikke allerede er blevet udvalgt, et nyt som dets umiddelbare efterfølger, medmindre der ikke er nogen elementer tilbage i mængden som ikke er blevet ordnet. Dette kan bedst forstås ved hjælp af nogle eksempler: Standardordningen (den normale angivelse af rækkefølge) af de hele tal {..,-2,-1,0,1,2,..} er ikke en velordning da der ikke udvælges et element som det første. Standardordningen af de ikke-negative rationelle tal {0,..,¼,..,½,..,1,..,1½,..,2,..} er ikke en velordning selvom det udpeger et tal som det første, for der udvælges ikke et rationelt tal som den umiddelbare efterfølger for 0. Standardordningen af mængden af de naturlige tal N er derimod en velordning. Det samme er den ikke-standardordning af N som udvælger alle de positive hele tal, i deres standardordning, før 0 {1,2,3,…,0}. To velordnede mængder kan se ens ud hvis vi abstraherer fra de ting, som faktisk bliver ordnet. Sagt på en anden måde: To mængder kan have samme form selvom den ene mængde ikke består af de samme elementer som den anden. Formen af en velordning afhænger således også af hvor lang den er.

Ordenstal bruges til at beskrive en mængdes længde og form. Givet enhver mulig form for velordning, er der et ordenstal som fungerer som et mål for denne. Vi kan således angive hvilken form en velordning har, ved at udpege det relevante ordenstal. Ordenstal opfylder denne funktion ved selv at være velordnede. Dvs. der er en uendelig forsyning af ordenstal (som sikrer angivelse af enhver mulig længde eller form), for hvilke det gælder:

i) et ordenstal er det første

ii) for ethvert ordenstal er der et andet ordenstal som er dets umiddelbare efterfølger.

iii) for enhver mængde af ordenstal (endelig eller uendelig) er der et nyt ordenstal, som er det første til at efterfølge dem der er i mængden.

De første ordenstal er identiske med de naturlige tal. Det første er 0 (angiver længden af en velordnet tom mængde). Ifølge iii) er der et ordenstal som er den første efterfølger af alle de naturlige tal, dette refereres til som w (omega). Bemærk: w er et helt andet slags tal end de naturlige, det er ikke et ekstremt stort naturligt tal som ligger så langt ude, at det er efter de naturlige tal! w er et symbol som angiver længden af standard-velordningen af N, som er lig N’s umiddelbare efterfølgere. w’s umiddelbare efterfølger er w+1, som henviser til den første ikke-standard-velordning af N, nemlig {1,2,3,…,0}. Det første ordenstal som er efterfølger til alle disse, er w+w eller w´2, som kan fortsættes til w², w^w, , ….osv. (Moore 1990, kap. 8)

Cantor indførte også brugen af kardinaltal (mængdetal) i sin matematiske teori. Det kardinale aspekt af tal refererer til antallet af elementer i en mængde, f.eks. en, to, tre… Man fortæller hvor stor en mængde er ved at nævne dets kardinaltal: À_n(À er et hebraisk bogstav og udtales ’alef’). I tilfældet med endelige mængder bruger man det passende naturlige tal, f.eks. er 9 det kardinaltal som viser størrelsen af mængden af planeter i solsystemet. To uendelige mængder er lige store hvis de kan sættes i én-til-én relation med hinanden. Mængder som kan ’matches’ på denne måde, siges at have samme kardinaltal, da de indeholder samme antal elementer.

Nogle mængder er større end andre, men der er et mindste mål for hvor lille en uendelig mængde kan være. Enhver uendelig mængde er mindst lige så stor som N. N er så lille uendelig som muligt. Det mindste uendelige kardinaltal betegnes À₀ og registrerer altså størrelsen af N.[8] Mængder som er enten endelige eller har samme størrelse (kardinalitet) som N, siges at være tællelige (denumerable). Mængder som er større end dette (har større kardinalitet), siges at være over-tællelige (non-denumerable), f.eks. er mængden af reelle tal overtællelig, hvilket Cantor viste ved ovenfor nævnte diagonalargument. De kardinaltal som registrerer størrelsen af uendelige mængder, kaldes uendelige kardinaltal. Kardinaltal gør det muligt for os at måle hvor store uendelige mængder er, på samme måde som de naturlige tal gør det muligt for os at måle hvor store endelige mængder er, og ordenstallene gør det muligt at måle hvor lange velordninger er. I transfinit aritmetik kan man, ved en uendelig mængde, lægge én til og stadig have samme kardinaltal, f.eks.

À₀ + 1 = À₀. Dette gælder også når man lægger et vilkårligt endeligt antal hele tal (¦) til mængden: À₀ + ¦ = À₀. (Moore 1990 kap.10; Barrow 1992)

Der er både tællelige og overtællelige ordenstal. Det første overtællelige ordenstal indeholder À₁elementer, og er det første som er efterfølger til de tællelige ordenstal. À₁er nummer to i rækken af uendelige kardinaltal. Kardinaltallene er de respektive ordenstal som er det første af den pågældende størrelse. Mellem to uendelige kardinaltal er der uendeligt mange ordenstal da elementerne i en mængde af en bestemt størrelse, har mange former for velordninger. Cantor fremlagde en slags aritmetik for de uendelige kardinaltal. Hvis to uendelige kardinaltal adderes eller multipliceres, så bliver det mindste af de to ’opslugt’ af det største, dvs. at det største af de to uendelige kardinaltal, selv er summen eller produktet, f.eks. À₇+ À₅= À₇. (Moore 1990, kap. 10)

Det sidste element jeg vil komme ind på i Cantors transfinitisme, er hans kontinuumhypotese. Ovenfor har jeg beskrevet hvordan Cantor opdagede, at der er flere niveauer af uendelighed. Det nederste niveau kaldte han for tællelig uendelighed, og højere niveauer kaldte han for overtællelige uendeligheder. De naturlige tal er et eksempel på en tællelig uendelig mængde, og de reelle tal er et eksempel på en overtællelig uendelig mængde. I 1877 fremsatte Cantor en hypotese om at antallet af reelle tal er det næste niveau af uendelighed over tællelig uendelighed. Da de reelle tal bruges til at repræsentere et lineært kontinuum, kaldes denne hypotese for ’kontinuumhypotesen’. (McGough)

Med Cantors teori er det blevet gjort klart at uendelige mængder er af forskellig størrelse. Via

Cantors transfinitte tal har vi fået mulighed for at kalkulere med uendeligheder; vi kan nu fortælle hvor uendeligt noget er. Figur 3 giver en fornemmelse af hvordan Cantors mængder forholder sig indbyrdes til hinanden. Cantor prøvede at behandle det uendelige så meget som muligt som det

endelige. Dette gjorde han bl.a. ved at ændre definitionen af det uendelige, fra at blive defineret som det umålelige og uoverskuelige, og dermed stå overfor paradokset med de lige tal som en konsekvens, til at definere uendelighed, ud fra paradokset selv, som enhver samling med samme antal elementer som en ægte delmængde af den selv. Derefter viste Cantor at uendelighed, med den nye definition, ikke længere er umålelig. Hvad der med al tydelighed udtrykker den negative overensstemmelse mellem endelige og uendelige mængder, nemlig karakteristikken af en uendelig mængde som én der kan sættes i én-til-én relation med en ægte delmængde af sig selv, kom – mærkeligt nok - til at danne grundlaget for den transfinitte matematik. For at det uendelige skulle blive muligt at forestille sig, opfandt Cantor en helt ny type tal, som man kan bruge til at regne på uendeligheder med. Kardinaltallene er blevet håndgribelige på en sådan måde at vi kan forestille os dem som værende derude. Der er på denne måde blevet argumenteret for at uendelighed er aktuelt eksisterende. (Robinson & Harré 1964; Read 1995)

Figur 3: Mængdehierarkiet.

(skal læses nedefra og op)

- Uopnåelige kardinaltal. Eksistensen af kardinaltal over dette punkt kan ikke bevises. Megen

nuværende forskning i mængdeteori går ud på at finde nye aksiomer som vedrører de

kardinaltal der ligger placeret her.

k - Det første kardinaltal således at k = À_k. Dette tal er så stort, at et lige så stort tal behøves for

at sige, hvor stort det er.

À_w - Det første kardinaltal som går forud for uendeligt mange kardinaltal.

À₁ - Det andet uendelige kardinaltal, og det første overtællelige ordenstal.

e₀- Det første efterfølgende ordenstal til alle w, w^w…

w ´ 2

w = À₀- Det første uendelige ordenstal og det første uendelige kardinaltal (også = N).

6 - Antallet af mængder herunder har næsten 20.000 cifre.

5 - Antallet af mængder herunder er 65.536.

0 = Ø - Den tomme mængde, der er ingen mængder herunder.

(Moore 1990, side 157)

Kritik af Cantors transfinitisme

Cantors matematiske teori med de transfinitte tal var et gennembrud for mængdeteorien, og gav anledning til stor udvikling indenfor matematikkens verden. Men allerede Cantor selv, indså at der var uløselige problemer i transfinitismen. Spørgsmålet er så hvad det betyder for påstanden om, at uendelighed skal opfattes som aktuel.

Kontinuumproblemet

Problemet med Cantors kontinuumhypotese er at den hverken kan bevises at være sand eller falsk. Ved brug af almindelig tallære er det faktisk umuligt at afgøre spørgsmålet. Antagelsen af at antallet af reelle tal er det næste niveau af uendelighed over tællelig uendelighed, er både blevet bevist at være konsistent med aksiomerne for mængdeteori, og ikke at være det. Det faktum at der hverken er en verifikations– eller gendrivelsesprocedure til udsagn som kontinuumhypotesen, giver en god grund til at mistænke en uklarhed i transfinitismen. Hvor bestemt er Cantors opfattelse af f.eks. mængde? Det kan være at teorien ikke er beskrevet uddybende nok, til at der kan gives et svar på spørgsmålet om kontinuumhypotesens sandhed. Har sådanne spørgsmål overhovedet en definitiv mening, og dermed også et definitivt svar? Kontinuumhypotesen har været - og er stadig - et af de problemer i matematikken folk har beskæftiget sig mest med. Det er blevet fremsat som det første problem på en liste over de 23 vigtigste uløste problemer i matematikken. Alt dette giver anledning til en tvivlen på hvor sikkert et forsvar Cantors teori er for uendelighed som aktuel. (Putnam 1983 afsnit 5; Moore 1993 afsnit VII; McGough)

Nye paradokser opstår

Cantors teori løste de gamle paradokser, men nye opstod i stedet. Disse er Burali-Forti paradokset, Cantors paradoks og Russells paradoks, som under ét kan kaldes logiske, syntaktiske eller mængdeteoretiske paradokser. Alle tre indeholder et element af selvreference hvilket synes at være kimen til problemet. (Lübcke 1983)

Burali-Forti paradokset[9] blev også fremsat af Cantor selv. Lad W betegne mængden af ordenstal. For enhver mængde af ordenstal er der et nyt ordenstal, som er det første til at efterfølge dem der er i mængden.[10] Ifølge dette må der altså være et ordenstal som er det første efterfølgende til alle W’s elementer. Dette er en kontradiktion da W indeholder alle ordenstal. Sagt på en anden

måde: Hvis W eksisterer, så må denne mængde have en velordning. Således må der være et ordenstal som angiver formen af denne velordning. Men det er klart at ingen af ordenstallene i W er store nok til at gøre dette. Således kan W ikke indeholde alle ordenstallene. Burali-Forti udledte af dette at ordenstallene ikke selv kan være velordnede. (Moore 1990, kap. 8)

Cantors paradoks opstår på baggrund af Cantors teorem, ifølge hvilken enhver mængde har flere delmængder end elementer.[11] Anvendes dette på mængden af alle mængder, må denne have flere delmængder end der overhovedet findes mængder. Sagt på en anden måde: Mængden af alle mængder må være mindre end mængden af mængder af alle mængder. Men siden mængder af mængder selv er mængder, følger på den anden side at mængden af alle mængder må være mindre end en af sine egne ægte delmængder. Dette er imidlertid umuligt - helheden kan være samme størrelse som delen (dette godtog Cantor i sin teori), men den kan ikke være mindre! (Lübcke 1983; Moore 1990 kap. 8)

Ved sammenligning af mængders størrelser er der to slags kriterier som altid falder sammen når de bruges på endelige mængder, men ikke når de bruges på uendelige mængder. Det ene kriterium kan kaldes ’korrelations-kriteriet’ og går ud på at elementerne af den ene mængde kan parres med elementerne af den anden. Det andet som kan kaldes ’delmængde-kriteriet’, angår hvorvidt elementerne af den ene mængde alle tilhører en anden mængde. Hvis alle elementerne i én endelig mængde kan parres med alle elementerne i en anden endelig mængde, så tilhører elementerne af den ene mængde den anden mængde, og omvendt. Når vi taler om uendelige mængder, kan vi sige at der er lige så mange lige tal som der er naturlige tal i korrelations-betydningen, mens der er færre lige tal end naturlige tal i delmængde-betydningen.

Når Cantor brugte udtryk som ’samme størrelse’ og ’større end’, er det i korrelationsbetydningen. Én af vanskelighederne ved Cantors transfinitte matematik er at han ikke var opmærksom på denne distinktion. Cantor kunne måske have undgået dette paradoks hvis han havde været påpasselig med at skelne mellem korrelations-kriteriet og delmængde-kriteriet. (Moore 1990, kap. 8)

Russells paradoks fremkom da Russell (1872-1970) reflekterede over Cantors bevis af, at de reelle tal er overtællelige. Visse mængder synes at kunne være element i sig selv, f.eks. mængden af mængder. Betragt nu mængden af mængder som ikke er element i sig selv, og kald den S. S er enten element i sig selv, eller den er det ikke. I det første tilfælde er S element i mængden af mængder der ikke er element i sig selv. S er derfor ikke element i sig selv. Hvis S imidlertid ikke er element i sig selv, er S element i mængden af mængder som ikke er element i sig selv. S er derfor element i sig selv. Følgelig: S er element i sig selv, hvis og kun hvis S ikke er element i sig selv. (Lübcke 1983; Moore 1990 kap. 8)

Som umiddelbar respons på paradokserne var Cantor parat til at sige at mængden af ordenstal og mængden af alle mængder, slet ikke findes. Dette retfærdiggjorde Cantor på følgende måde: Der er ting som ikke er mængder, og der er mængder af disse ting. Så er der mængder af disse, med andre ord: Mængder for hvilke nogle af elementerne er mængder. Og så er der mængder af disse, med andre ord: Mængder for hvilke nogle af elementerne er mængder, for hvilke nogle af elementerne er mængder, …osv. Men processen stopper aldrig, således kan og må vi godtage at enhver mængde tilhører en anden mængde. Af selv samme grund må vi også benægte at der er en mængde, til hvilken alle andre mængder hører. Mængder er i dette tilfælde beskrevet som om de opstår efter deres elementer – på en sådan måde at der altid kan opstå flere mængder. Mængdernes kollektive uendelighed, i modsætning til uendeligheden af hver af dem, er potentiel og ikke aktuel. I Cantors matematiske teori er det ikke passende at tillægge begreberne endeløs, uoverskuelig og umålelig til hver enkelt mængde, mens man godt kan bruge begreberne til hele hierarkiet af uendelige mængder. Det er værd at bemærke at Cantor nogle gange selv skelnede mellem uendeligheden af de enkelte mængder og uendeligheden af hele hierarkiet, ved at beskrive sidstnævnte som ’sand’ uendelighed. Hvad der synes at følge af dette, er ironisk og bemærkelsesværdigt nok at Cantors teori har givet betydelig substans til den Aristoteliske opfattelse af, at (sand) uendelighed ikke er, og måske ikke kan være, aktuel. (Moore 1993, afsnit VII)

I stedet for at benægte eksistensen af visse mængder (totaliteten af ordenstallene og mængden af alle mængder) konkluderede Cantor senere at nogle totaliteter er umådeligt store. Så uendeligt store at de ikke kan betegnes som mængder overhovedet. Cantor kaldte disse for ’inkonsistente totaliteter’ eller ’absolutte uendeligheder’. De er mange for store til at blive betragtet som én. Det synes nu som om vi er kommet tilbage, til hvor vi startede. Cantor har tildelt mængder, som de naturlige tal, en slags endelighed, mens det ægte uendelige fortsat ikke kan undersøges vha. matematikken. Som han selv sagde det: ”The Absolute can only be acknowledged and admitted, never known, not even approximately” (c.f. Moore 1990, side 128).

Vi mangler en forklaring på hvorfor samlingen af nogle objekter til et hele, f.eks. alle de naturlige tal, synes sikker og konsistent, mens samlingen af andre objekter, f.eks. alle ordenstallene fører til en kontradiktion. Cantors paradoks er paradokset med ’den ene og de mange’.[12] Er der overhovedet nogle uendelige mængder? Er det ikke sådan at en sandt uendelig totalitet er ’et mange’ som er for stort til at tælle som én? For at prøve at komme uden om dette problem skelner nogle nutidige teoretikere mellem ægte klasser og mængder[13]. I det hele taget har mange prøvet at redde mængdeteorien med tekniske midler[14], men der er stadig ikke fundet en løsning på de filosofiske paradokser. (Moore 1990 kap.10; Blackburn 1994; Read 1995)

Jeg vil med et citat fra John Mayberry konkludere på Cantors transfinitisme at: ”Just as it is true to say, in mathematical analysis, that imaginary numbers are just as real as real ones, so, in Cantorian set theory, it is true to say that infinite sets are just as finite as finite ones.” (c.f. Moore 1989, side 22) Cantor påstod at have tæmmet uendelighed vha. det transfinitte, men konklusionen i dette afsnit er at der må være en absolut uendelighed udover det transfinitte. Heraf kan det udledes at (sand) uendelighed ikke er, og ikke kan være, aktuel, hvilket er hvad intuitionisterne i næste afsnit gør.

Intuitionisme

Intuitionisterne argumenterede for at uendelighed kun kan betragtes som potentielt eksisterende. Jeg vil i dette afsnit fremlægge intuitionisternes synspunkter hovedsageligt ud fra to repræsentanter for dette standpunkt: L.E.J.Brouwer (1881-1966) som grundlagde intuitionismen, og Arend Heyting (1898-1980) som uddybede flere af argumenterne.

Måske er matematik ikke andet end matematikernes aktivitet. En opfindelse snarere end en opdagelse – dette synspunkt kaldes ’inventionism’ eller ’konstrueren’. Leopold Kronecker (1823-1891) mente at de naturlige tal er de eneste virkelige matematiske objekter, og enhver matematik som ikke til syvende og sidst, drejer sig om disse (såsom Cantors teori), er matematisk nonsens. ”God made the integers; all the rest is the work of man”, som han sagde (c.f. Moore 1990, side 121).

Intuition, eller anskuelse, er hos Kant dét der strukturerer vores oplevelser til en erfaring af ting i tid og rum. Tid og rum er anskuelsesformer. Matematisk erkendelse er syntetisk a priori, og beror på konstruktion af matematiske objekter i den rene rum- og tidsanskuelse. Matematiske objekter eksisterer kun for så vidt vi konstruerer dem. Vi kan derfor kun hævde eksistensen af et matematisk objekt, hvis vi sidder inde med en effektiv metode til i princippet at konstruere det; omvendt kan vi kun benægte dets eksistens, hvis vi effektivt kan påvise at antagelsen af dets eksistens, fører til en inkonsistens. Intuitionisterne blev inspireret af Kant og mente at uendelighed er konstrueret af den menneskelige fornuft. Således er intuitionisme det samme som konstruktivisme.[15] (Moore 1993, afsnit V)

Problemet med tolkningen af uendelighed udspringer af uenighed i opfattelsen af matematikkens grundlæggende natur og hvilken logik der forudsættes. Man kan ifølge Brouwer ikke undersøge matematikkens grundlag og væsen, uden også at undersøge den matematiske aktivitet bevidstheden udfører. Kun de udsagn som kan bevises eksplicit gennem en endelig række af konstruerede trin byggende på de naturlige tal, kan inkluderes i matematikken. Cantor lavede en ny matematik for at vise at matematisk uendelighed er aktuelt eksisterende, men intuitionisterne har deres opfattelse af hvilke matematiske påstande der kan accepteres, på baggrund af en helt anden logik. De afviser den klassiske logik og fremstiller i stedet intuitionistisk logik, ud fra hvilken

matematisk uendelighed kun kan siges at eksistere potentielt. Hvad der efter intuitionisternes opfattelse udgør en matematisk sætnings sandhed eller falskhed, er eksistensen af et bevis eller et modbevis for den. Som en konsekvens af dette benægtes gyldigheden af det udelukkede tredjes princip (p eller ikke-p). Denne afvisning er imidlertid ikke en antagelse af dets kontradiktion. Det er ikke en tese for intuitionisten at hverken p eller ikke-p for nogle p. For det kan godt være at vi engang kan tilvejebringe et bevis eller et modbevis for p. (Lübcke 1983; Barrow 1992; Read 1995)

Ved at dele tid i vores tanke, og ved at indse at denne proces kan fortsættes i det uendelige (gennem tid), kan vi opnå en fundamental ide af en progression, og dermed af de naturlige tal. Konstruktionen af et givet tal tager tid, så man kan aldrig nå det punkt hvor man har konstrueret dem alle. Vi kan ikke konstruere helheden af en uendelig totalitet inden for et endeligt tidsrum, og derfor kan uendelighed kun være potentielt eksisterende. (Moore 1989; Moore 1993 afsnit VIII)

Cantors forsvar for at behandle R (mængden af reelle tal) som et komplet hele, var at det ikke er logisk selvmodsigende at gøre det. Men for Brouwer er konsistens ikke nok til at gøre udtalelser sande, eller bare meningsfulde. Han kunne ikke acceptere at der findes en komplet helhed, som f.eks. R, da der ikke er nogen måde, hvorpå de reelle tal som helhed kan konstrueres. Hvad der kan konstrueres, er individuelle reelle tal, hvilket gøres ved at beskrive de love som determinerer f.eks. deres decimale rækkeudvikling. Serierne skal determineres trin for trin, på en eller anden måde. N kan derimod godt accepteres som en helhed der eksisterer. Vi kan nemlig bestemme hele denne mængde vha. en enkelt regel: Rækken af naturlige tal konstrueres ved at lægge én til. Intuitionisten anerkender på denne måde kun eksistensen af tællelige mængder, hvilket vil sige at de afviser Cantors tale om overtællelige mængder, mængder hvis kardinalitet er større end den naturlige mængdes. (Brouwer 1913; Heyting 1931; Blackburn 1994)

For at undgå misforståelser og kritik der rammer ved siden af, uddyber Heyting Brouwers argumenter. Han påpeger at det er vigtig