HILBERTS HOTEL

af mag.art. Mohammad-Reza Kokabi-Hamadani

David Hilbert (1868-1943) var en meget berømt tysk matematiker med stor interesse for filosofi og metafysiske overvejelser. Han bidrog blandt andet  til teorien om algebraiske invarianter, algebraiske tal, matematisk logik og  matematikkens filosofi [1]. Hans værk "Grundlagen der Geometrie (1899)" betragtes som grundlaget for den moderne opfattelse af et aksiomatiseret formelt system. I begyndelsen af 1920 'erne formulerede han i en række artikler en ny opfattelse af matematikkens grundlag og en ny teori for at føre denne opfattelse ud i livet. Den nye opfattelse blev hurtigt kendt under betegnelsen formalisme [2] – selvom han selv aldrig udtrykkeligt anvendte udtrykket – og hans nærmeste medarbejder omtaler den nye opfattelse som Hilberts program [3], mens den gren af matematikken, der blev grundlagt af Hilbert med henblik på undersøge matematikkens grundlag, blev kendt som metamatematikken, som er det matematiske studium af formelle systemers syntaktiske egenskaber. I den sammenhæng var han blandt andet inspireret af G. F. L. Frege (1848-1925), der i 1879 introducerede betegnelsen formelt system, som indtil 1931 implicit blev betragtet som paradigmet for absolut nøjagtighed m.h.t. forskning af matematikkens grundlag.  Ideen var tilsyneladende også i overensstemmelse med det gamle, aristoteliske ideal om fuldstændige deduktioner fra primitive principper. Heri var der tilsyneladende ikke noget problem i og med at man troede, at man indenfor et system fuldstændigt og konsistent kunne formalisere matematikken. Dette på trods af at både Russell, Carnap og Tarski lang tid før udgivelsen af Gödels teoremer [4] var klar over de problemer, der opstår, når man ikke skelner skarpt mellem objektsprog og metasprog; men de var tilbøjelige til at betragte dette som et problem, der hverken vedrører den elementære logik, der omfatter de grundlæggende, logiske principper eller det som de betragter som absolut nødvendigt for en adækvat beskrivelse af virkeligheden, nemlig den elementære aritmetik, der omfatter mængden af naturlige tal. I den forbindelse er det en meget udbredt misforståelse, at Gödels teoremer primært er rettet mod Hilberts program fremfor mod Frege. Denne misforståelse skyldes, at Frege og Hilbert har en række fælles forudsætninger m.h.t. formalisering. Men  Gödels arbejde, der primært er rettet mod de grundlæggende forudsætninger hos Frege, har ruineret grundlaget for Hilberts program, som det implicit også var forudsætningen for. Læseren skal være opmærksom på, at det var Frege som var inspirationskilde for de logiske positivister og logiske atomister, hvor Gödels filosofiske tradition hører hjemme og ikke Hilbert.

Gödels opdagelser var også et slag i ansigtet på de filosoffer, der betragtede matematikken som paradigmet på rationel erkendelse og hans teorier kan betragtes som en sejr for en holistisk forståelse af den menneskelige erkendelse.

Desværre er der en vis tendens til at fortolke hans teoremer som en triumf for intuitionen fremfor for formaliseringen [5] indenfor matematikken, hvilket er absurd, da hans teoremer forudsætter muligheden for formalisering, men ser begrænsningen af formalisering inde fra formaliserings perspektivet. I den sammenhæng er det værd at huske på, at den form for konsistens, som Gödel snakker om, er en relativ konsistens og ikke en absolut. Gödels arbejde kan udmærket fortolkes således, at matematik dels ikke kan formaliseres i et formelt system og at det dels er nødvendigt med en eller anden form for hierarkisk opdeling af de formelle systemer.

Idehistorisk set kan man sige, at Hilberts program var et forsøg på at finde ud af om alle eksistensantagelser i den klassiske matematik er tilladt. Dette forsøg var baseret på en kontekst, der udmærkede sig ved følgende:

• Finittiske metoder var de ideelle metoder, der skulle ligge til grund for at vise, at den kendte udvidelse af matematikken med infinit procedure, som vi fx kender fra Cantors mængdelære, ikke gør totaliteten af matematisk erkendelse inkonsistent. Han lægger vægt på nødvendigheden af inddragelsen af de naturlige tal, hvilket har flere årsager blandt andet, at antallet af elementer i mængden af naturlige tal eller mængder, som har det samme antal elementer som mængden af naturlige tal, er ækvivalent med det mindste kardinaltal for uendelige mængder. [6]
• Enhver teori kan formaliseres indenfor den selvsamme teori. Dette var den implicitte forudsætning, som erkendelsesteoretisk set blandt andet banede vejen for, at Gödels teoremer er relevante for Hilberts program. 

Gödels teoremer har vist, at man ikke kan formalisere den klassiske matematik i én teori. Læg mærke til at hans teoremer intet siger om muligheden for at formalisere matematikken gennem to eller flere teorier. Dermed har jeg ikke sagt, at der ikke findes filosoffer, der har en anden mening, men blot, at disse filosoffers mening rummer en udvidelse af Gödels præmisser, hvilket på ingen måde er givet.

Logisk set begår disse filosoffer en alvorlig kategorifejltagelse, idet de tror, at i og med at en teori er konsistent, vil udvidelsen af den nødvendigvis også være det, hvilket ikke er nødvendigt. Den simple model er den situation, hvor man tager en konsistent model fra en teori og tilføjer negationen af en grundlæggende sætning i det primære system og dermed udvider systemet, men systemet er indlysende  inkonsistent. Fejlen skyldes også at disse filosoffer har et problem med at forstå det asymmetriske forhold mellem et system S1 og dets udvidelse S2 m.h.t. konsistens. Hvis S2 er konsistent, så er S1 altid konsistent; men hvis S1 er konsistent, er det ikke nødvendigt, at S2 er konsistent.

Udover Frege havde Hilbert meget omfattende diskussioner med blandt andet L. E. J. Brouwer (1881-1966)  og Georg Cantor (1845-1918). Med Frege diskuterede han matematikkens status, som noget, der vedrører formelle eller informelle størrelser og med Brouwer om geometriens grundlag; men med Cantor diskuterede han både matematiske og metafysiske problemer. Alle disse diskussioner er yderst interessante for en kritisk vurdering af realismen og antirealismen indenfor meningsfilosofien. 

Hilbert fandt en imponerende teori om uendelighedens metafysik i Cantors mængdelære og var også påvirket af hans implicitte opfattelse af metafysikkens filosofi. Han var dybt fascineret af Cantors mængdelære og støttede ham både som person, matematiker og filosof. Hilbert beskrives som et meget kærligt menneske med stor sans for humor. I sine forelæsninger plejede han at fortælle andre om et meget mystisk hotel med særlige egenskaber, dette hotel blev siden hen kaldt Hilberts hotel [7].

Hilberts hotel har uendeligt mange værelser, som er nummererede således:

1, 2, 3, ..., p, ...

Det ses tydeligt, at numrene på værelserne er naturlige tal.

I Hilberts hotel har enhver gæst et enkelt værelse og alle værelserne er optaget. Men hotellet har stadig flere pladser!!!

Hilberts hotel skal tjene en pædagogisk hensigt, idet det skal være et billede på følgende:

• Antallet af elementer i en uendelig mængde forbliver det samme, hvis man tilføjer eller fratrækker et finit antal elementer fra den pågældende mængde.
• Enhver uendelig mængde M1 har en delmængde M2, som har lige så mange elementer som M1. [8]
• Antallet af elementer i en uendelig mængde M1  forbliver det samme, hvis man tilføjer eller fratrækker et infinit antal elementer fra den pågældende mængde, som er lige så stor som antallet af elementer i M1.

Men tilsyneladende er der nogle filosoffer, der ikke har forstået den dybe pointe i Hilberts hotel, de naturlige tals egenskaber. I den sammenhæng skriver Justus Hartnack:

"Et andet eksempel, der illustrerer problemerne knyttet til problemet om den aktuelle uendelighed, er David Hilberts fortælling (her refereret fra Jose Bernadetes bog "Infinity", p. 113-119) om et hotel med uendelig mange værelser, der alle er optagne. En ankommende gæst måtte derfor afvises, dersom det ikke var tilfældet at træffe følgende foranstaltning: Hotellets reception har en telefon, der sætter receptionen i stand til på et og samme tidspunkt at være i forbindelse med alle og samtlige gæster. Over telefonen anmoder man alle om at flytte til det næste værelse, der har et nummer højere end det værelse de fraflytter. Gæsten der har værelse nummer 2 flytter således til nummer 3 mens gæsten på nummer 1 flytter ind i nummer 2. Da der ikke er noget værelse der har nummeret nul, bliver værelse nummer 1 således ledigt. Den ankomne gæst får således værelse nummer 1. Vi må her tillade os, til trods for vor indbyggede realitetssans, at godtage ideen om et hotel med uendelig mange værelser. Det må være et hotel, der strækker sig uendeligt i det uendelige verdensrum. Sværere er det, at godtage ideen om at alle kan flytte til det næste værelse i rækken. Hvis det nemlig er muligt for gæsten der skal flytte til det næste værelse - altså en gæst der bor i værelse med det højeste nummer - så må det værelse være ledigt. Men da den ankomne gæst fik at vide at alle og samtlige værelser var optagne kan der selvklart ikke være ledige værelser. Gæsten, der bor på det værelse - værelset med det højeste nummer - der skal begynde flytningen, må nødvendigvis have et ledigt værelse at flytte ind i. Er der ikke det kan gæsten på nummer 1 heller ikke flytte, og den ankomne gæst kan følgelig ingen værelse få." [9] (Mine understregninger)

Det ser umiddelbart ud til, at Justus Hartnack har et stort problem med at indse, at hvis et hotel har et uendeligt antal værelser og værelserne er nummererede med naturlige tal således, at første værelse har nummer 1, anden værelse har nummer 2 osv., så kan vi ikke tale om værelset med højeste nummer, fordi naturlige tal ikke er begrænset opad: 1, 2, 3, ...

Dvs. at Justus Hartnack begår den store fejl, at han fra én side accepterer, at mængden af naturlige tal er opad ubegrænset og samtidig, ved at tale om "værelset med det højeste nummer", forudsætter at mængden af naturlige tal er begrænset opad. Altså en klar selvmodsigelse. Mens Hartnack har problem med forståelsen af matematiske egenskaber ved uendelige mængder og dermed bygger sine filosofiske spekulationer på et forkert grundlag, har matematikeren Lars Mejlbo absolut ikke noget problem med at forstå den matematiske pointe ved Hilberts hotel; til gengæld har han problem med at forstå de filosofiske og logiske problemer, som dette mystiske hotel giver anledning til, hvilket fremgår af hans bemærkninger om hotellet, når han skriver: "alle sover nu roligt (i parentes bemærket: Hotellet ligger i Nisseland , og alle gæster er - ikke alene usædvanligt fredsommelige - men også hurtigere end lynet, hvilket receptionen i øvrigt også er !)." [10] (mine understregninger)

Han ødelægger grundlaget for Hilberts hotel, idet han siger, "hotellet ligger i Nisseland" og "... hurtigere end lynet,..". Disse citater viser nogle filosofiske implikationer, som er utrolig uheldige, idet de implicerer:

1) hotellet eksisterer ikke i den virkelige verden. Der eksisterer ikke noget, der hedder Nisseland i den virkelige verden.

2) ved at sende meddelelser hurtigere end lynet, kan beboerne kommunikere med hinanden.

Ad. 1) : Om der logisk set eksisterer nisser og Nisseland i den virkelige verden, ved vi ikke noget om. Vi har myter om nisser og Nisseland, men vi er på ingen måde i stand til at afvise deres eksistens. Vi kan sige, at vi ikke har truffet dem; men det alene, at vi ikke har set nisser endnu, kan ikke automatisk gøre det umuligt, at vi ikke ser nisser i fremtiden. Derfor er eksistensen af nisser empirisk set et åbent spørgsmål.

Man kan med lidt modifikation argumentere på samme måde om Hilberts hotels eksistens. Logisk set er der ikke nogen intern sammenhæng mellem eksistensen af nisser og eksistensen af Hilberts hotel, hvorfor eksistensen af den ene er kompatibel med manglende eksistens af den anden. I den sammenhæng er min pointe, at den mulighed eksisterer, at vi en dag træffer nisser eller kunne se Nisseland uden samtidig at se Hilberts hotel. Men hvis Hilberts hotel analytisk set ligger i Nisseland, så er det umuligt, at Nisseland eksisterer, uden at Hilberts hotel eksisterer. Dermed ligger Hilberts hotel i Nisseland og dette implicerer, at Hilberts hotel som sådan kunne eksistere i virkeligheden, hvilket står i modsætning til det, han har stået for, nemlig, at Hilberts hotel ikke eksisterer i virkeligheden!!!

Alle beboere i hotellet skal både kommunikere med hinanden på et og samme tidspunkt og flytte på et og samme tidspunkt, hvilket skyldes, at en vilkårlig beboer B1 i et vilkårligt værelse V1 kun kan flytte til næste værelse V2, hvis beboer (B2) i V2 flytter til værelse V3, men dette er kun muligt, hvis beboeren (B3) flytter til værelse 4 osv. Alle beboerne i hotellet er afhængige af hinanden m.h.t. at flytte fra et værelse til et andet.

Da alle skal flytte på et og samme tidspunkt, er det analytisk set nødvendigt, at der kommunikeres med alle på hotellet, men det er ikke nødvendigt, at man kommunikerer med alle på en og samme tid for at give selve meddelelsen om at flytte, uden at man nødvendigvis skal flytte, da det kan tænkes, at man blot giver meddelelsen til beboerne med den ordre, at de skal flytte, ikke med det samme, men på et bestemt tidspunkt i fremtiden. Beboeren kan derfor ikke flytte i det samme øjeblik, som han modtager meddelelsen, da alle ikke samtidigt har modtaget meddelelsen og derfor heller ikke kan flytte. I ethvert øjeblik befinder kommunikationsmeddelelsen sig på et bestemt sted og da beboerne befinder sig forskellige steder,  kan de heller ikke modtage kommunikationen på en og samme tid.

Anvendelsen af begrebet hastighed forudsætter, at mængden af naturlige tal er begrænset opad, hvilket er indlysende absurd. Begrænsningen opad af mængden af naturlige tal, som konsekvens af anvendelse af begrebet hastighed, skyldes, at hastighed defineres ved hjælp af afstand og tid, og da Hilberts hotelværelser er nummererede ved naturlige tal -  dvs. 1, 2, 3, ... for at kunne opfylde kravet om, at kunne skaffe et ekstra værelse selvom alle værelserne er optaget - og da ethvert værelse kun har plads til en enkelt person, kræver det, at alle i hotellet på én gang skifter værelse.

Læg mærke til, at alle beboere i hotellet skal flytte på en og samme tid og at

kommunikationsmeddelelsen ikke kan nå frem til alle beboere på et og samme øjeblik af den simple grund, at kommunikationsmeddelelsen i ethvert øjeblik når frem til et bestemt sted i hotellet og den kan umuligt være på to steder i et og samme øjeblik. Læseren skal blot huske, at kommunikationen formidles med en finit hastighed og den kan nå frem til et finit antal beboere i ethvert øjeblik; men en finit sum af et finit antal genstande er altid finit, hvorfor alle beboere på en og samme tid ikke kan kommunikeres med!!! Derfor kan de heller ikke flytte. Kategorifejltagelsen består i, at man sammenblander matematiske punkter med empiriske punkter. De første har ikke højde, længde og bredde, mens de empiriske har alle disse karakteristika.

Kære læser: Forestil dig et hotel, som har hverken højde, længde eller bredde!!! Dette ville ikke være noget, som man normalt kalder hotel. Det er en kategorifejltagelse, at man anvender hastighed, der vedrører den empiriske verden på en abstrakt afstand!!!

Nu: Da mængden af naturlige tal er opad ubegrænset, kan ingen hastighed anvendes til at give meddelelse til beboerne.

Begrundelse: Antag, at hastigheden er lig med P.  Logisk set er der to muligheder, enten er P ikke et helt tal, men så kan vi oprunde P til det nærmeste naturlig tal fx PD eller også er P et naturligt tal.

Da P er et naturligt tal og da kommunikationen med en sådan hastighed når frem til et antal beboere, sætter vi P2 = P + P = 2P. Det vil sige, at der eksisterer beboere i værelser, som kommunikationen når frem til, ikke i første øjeblik, men i næste og på samme måde kan vi generere Pi, hvor i er et naturligt tal. Derfor er der nogen beboer i ethvert øjeblik, som ikke har modtaget kommunikationsmeddelelsen, da sekvensen Pi er uendelig, hvorfor ikke alle kan få meddelelse og dermed kan de heller ikke flytte!!!

Min pointe er, at man, i samme øjeblik man inddrager den empiriske virkelighed i sine matematiske overvejelser for at slutte til den matematiske virkelighed, begår kategorifejltagelser.

En af de typiske indvendinger, som jeg tit oplever, når jeg diskuterer med folk med en matematisk og fysisk baggrund er, at de tror, at hvis man benytter sig af at et interval fx (0,1), så kan en hastighed, som svarer til lynets hastighed anvendes som model for Lars Mejlbos eksempel, da han  ikke siger noget om, hvor store værelserne er i hotellet. Man mener, at mit problem er, at jeg forestiller mig almindelige værelser, som model for værelserne i hotellet og til støtte for deres opfattelse peger de på, at Lars Mejlbos eksempel rummer muligheden for, at hotellet ligger i Nisseland. Denne kritik kan tilbagevises på følgende måde: Betragter vi almindelige mennesker, som model for beboerne i hotellet, så holder min kritik; men modellen viser ikke, at Lars Mejlbos bemærkninger er forkerte. Jeg har heller ikke sagt, at almindelige mennesker er eneste, mulige, potentielle beboere i Hilberts hotel, men, at det ikke nødvendigvis er givet, at enhver størrelse kan være model for en beboer i hotellet.

 Som vi har set, implicerer kommunikationen mellem beboerne i Hilberts hotel en samtidig kommunikation med hinanden, hvilket analytisk set indebærer, at afsenderen og modtageren ikke bruger  tid på kommunikation. Altså: der går ikke nogen tid, når én beboer giver meddelelse til en anden beboer, for ligegyldigt hvor lille den tid matematisk set er og lige gyldigt hvor lille afstanden er mellem afsenderen og modtageren, kan ingen  hastighed, ligegyldigt hvor stor den er,  formidle kommunikationsmeddelelsen til alle på en og samme tid..

I den sammenhæng er vores paradigme for eksakthed den metafysiske eksakthed og ikke nogen approksimeret størrelse.

Jeg plejer også at illustrere min pointe med et simpelt spørgsmål: hvor mange naturlige tal kan vi tælle i et sekund, når vi tæller med lysets hastighed?  Ligegyldigt hvor mange vi tæller, så er antallet af talte tal altid finit. Ligegyldigt hvilken hastighed vi har, når vi tæller, kan vi aldrig tælle alle naturlige tal, da naturlige tal er opad ubegrænset!!!

Konklusion

• Alle beboerne i værelserne i Hilberts hotel skal samtidigt flytte fra deres værelser.

• Alle beboerne i værelserne i Hilberts hotel skal samtidigt kommunikere med hinanden.

• Der eksisterer ikke et naturligt tal, som er det højeste. Mængden af naturlige tal er opadtil ubegrænset.

• Ingen bestemt hastighed kan muliggøre kommunikationen i Hilberts hotel på et og samme øjeblik.

• Eksistensen af Hilberts hotel er, empirisk set, uafgørbart.

Noter

1. Hilbert og hans tilhængere banede vejen for anvendelsen af  formelle aksiomer dels indenfor matematik m.h.t. blandt andet at definere klasser af matematiske strukturer og dels indenfor logiske ræsonnementer i almindelighed. I 1928 skrev han sammen med Ackermann den første lærebog i logik, der omfatter første-ordens logikken og forsøgte dermed at udbrede anvendelsen af de moderne teorier indenfor logikken. Indenfor matematikkens filosofi forsøger han at retfærdiggøre anvendelsen af uendelighed indenfor matematik gennem finitte konsistensbeviser - som var ren syntaktiske - for et aksiomatisk system for aritmetik. Gödels teoremer viste, at man ikke fuldstændigt kan aksiomatisere aritmetikken indenfor et formelt system og dermed er der ikke noget bevis for et sådant system.

2. Indenfor formalismen betragtes matematiske teorier som rene deduktive systemer, hvor man ikke tilskriver nogen mening til systemets udtryk, med undtagelse af den implicitte mening, som tilskrives dem gennem systemets formationsregler, som regulerer mulighederne for deres kombinationer i velformede sætninger.

3. I den sammenhæng skal læseren gøres opmærksom på, at årsagen til, at Hilbert ikke selv anvendte udtrykket formalisme, med stor sandsynlighed skal søges i hans påvirkning fra Cantors metafysik, der som bekendt ikke byggede på formalisme. Derfor er jeg personligt tilbøjelig til at acceptere, at Hilberts

manglende anvendelse af udtrykket formalisme kan fortolkes som et implicit metafysisk forbehold. Hilbert har studeret Platons værker og var inspireret af dem og som bekendt har platonisk form familieligheder med form og formelle relationer indenfor formalismen, men er ikke identisk med dem. Hermed være ikke sagt, at Hilberts tilhængere havde det samme forbehold. P. Bernays gik tværtimod ind for formalisme.

4. Ethvert formelt system, der indeholder aritmetikken af naturlige tal, indeholder en sætning, som, hvis systemet er konsistent, ikke kan bevises eller modbevises, hverken selve sætningen eller dens negation kan deduceres af aksiomerne i det formelle system. Af dette følger, at det er umuligt, at bevise konsistensen af et sådant formelt system indenfor selve systemet. Groft sagt viser disse teoremer, at man ikke ud fra ét formelt system med kun få aksiomer kan deducere alle matematiske sandheder. Nogle filosoffer betragter Gödels teoremer som bevis på uholdbarheden af enhver teori, der betragter den menneskelige bevidsthed som værende et mekanistisk og determineret system.

5. Læseren skal også gøres opmærksom på, at intuitionister hverken accepterede Gödels teoremer eller på nogen måde har forsøgt at integrere dem i deres projekt. For dem var disse teoremer blot et udtryk for, at Hilberts program, som konstruktion af matematik på grundlag af metamatematiske konsistensbeviser, er uholdbart og problematisk. Erkendelsesteoretisk set er det værd at tage højde for hans  finittiske metode. Der er mange filosoffer, der ligefrem betragter hans teoremer som en nødvendig del af betingelser for en adækvat beskrivelse af virkeligheden, mens andre blot afviser dem og betragter dem som  matematisk teori, der ikke har nogen konsekvenser fx for vores  metafysiske overvejelser.

6. Gennem implicit inddragelse af mængden af naturlige tal som en aktuel uendelighed i sit program, kunne Hilbert implicit inddrage Cantors lære om mængde, ikke blot som en matematisk teori, men også som en metafysik og dermed belyse denne metafysik internt ved matematiske teorier. I den forbindelse er der en vis tendens hos Hilberts fortolkere til at se bort fra den implicitte forståelse af uendelighed som aktuel.

7. Se: George Gamon: "One two three ... infinity" part I, ch. I, §2. New York 1957.

8. Dette kan formuleres lidt mere strengt som følgende:  Enhver uendelig mængde M1 har en delmængde M2, som har det samme kardinaltal som M1. I mængdelæren udtrykker kardinaltallet antal elementer i en mængde. Hvis en mængde er finit, er dens kardinaltal endeligt. På samme måde er kardinaltallet for uendelige mængder uendeligt. Den mindste, uendelige mængde, m.h.t. antal elementer, er mængden af naturlige tal eller mængder, som er lige så store som mængden af naturlige tal fx mængden af lige tal. Dens kardinaltal betegnes med ₀ (aleph-nul).

9.Justus Hartnack: "Erkendelsens grundlag", C.A. Reitzels Forlag, 1993. side 83-84.

10. Lars Mejlbo: "Om det uendelige", Matematik-Lærerforeningen, 1991. side 10.

Anvendt litteratur

Bohr, Harald: "Matematiske arbejder med pædagogisk sigte", København 1987.

Boyer, Carl B.: "A history of mathematics". John Wiley & sons, 1968.

Boyer, Carl B.:  "The history of the calculus and its conceptual development". Dover publications, New York 1949.

Edwards, Paul: "The encyclopedia of philosophy", volume 4. 1967.

Emmett, E.R.: "Infinity", in Mind 66, 1957.

Hartnack, Justus: "Erkendelsens grundlag", C.A. Reitzels Forlag, 1993.

Hilbert, David: "Crundlagen der Geometrie", Leipzig 1899

Hilbert, David, W. Ackermann: "Grundzage der theoretischen Logik", Berlin 1928.

Hilbert, David, P. Bernays : "Grundlagen der Mathematik", bd. 12, Berlin 193439,

Hilbert, David: "On the Infinite (1925)", i J. v. Heijenoort (red.), From Frege to Gödel, Cambridge, Mass. 1967.

W & M. Kneale, "The Development of Logic", Oxford 1962

S. Körner, "The Philosophy of Mathematics", London 1960

Lipschutz, Seymour: "General topology". Schaum's outline series, McGraw-Hill Book Company, 1965.

Maor, Eli: "To infinity and beyond", Birkhäuser, 1986.

Mejlbo, Lars: "Om det uendelige", Matematiklærerforeningen, 1991.

E. Nagel and J.R. Newman: "Gödels Proof", New York, 1958, London 1959

Rucker, Rudy: "Infinity and the mind", Sussex, Harvester, 1982.

S. Shanker (ed.): "Gödels theorem in focus", London 1988

C. Smorynski, "The Incompleteness Theorems"., Studies in logic and the foundations of mathematics volume 90. Handbook of  mathematical logic, North Holland Publishing Company, 2nd print in 1978.

Tiles, Mary: "The philosophy of set theory: An historical introduction to Cantor's paradise", Oxford, Blackwell, 1989.

Wang, Hao:  "Reflections on Kurt Gödel", Cambridge, Mass, 1989.

Publiceret 080300